最简单易懂的感知机教程：从理论到实践（附代码）

雷锋网按：本文作者甄冉冉，原文载于作者个人博客，雷锋网(公众号：雷锋网)已获授权。

什么是感知机

感知机是二分类的线性分类模型，输入为实例的特征向量，输出为实例的类别（取+1和-1）。

感知机目的在求一个可以将实例分开的超平面，为了求它，我们用到基于误分类的损失函数和梯度下降的优化策略。

感知机模型

比如x表示n维的数据，y表示数据的类别。则感知机公式可表示为：

f(x) = sign(wx + b)

其中w，b为模型参数，w为权值，b为偏置。wx表示w，x的内积。这里sign是激励函数：

sign(x)

该感知机超平面的线性方程为：

w*x + b = 0

它的几何意义是：

该平面(w1x1 + w2x2 + b= 0)距离在轴上的坐标为：

(0 , -b/w2)

(-b/w1 , 0)

（后面的代码会用到，这里提前说明下。）

这里再说明其他的一点知识并证明下 w为什么是超平面的法向量：

这里再补充点超平面的知识：

超平面分离定理是应用凸集到最优化理论中的重要结果，这个结果在最优化理论中有重要的位置。所谓两个凸集分离，直观地看是指两个凸集合没有交叉和重合的部分，因此可以用一张超平面将两者隔在两边。

回归正题：

我们将大于0的分为+1类，小于0的分为-1类。有些比如大于0的判断为-1类或者相反则就产生了损失，刚开始第一反应就是用误分类点的数目越少作为损失函数，但是这样的损失函数的w, b并不是连续可导，无法进行优化。

于是我们想转到另一种选择，就是误分类点到超平面的距离越短越好。距离公式如下：

如果忘记距离公式给你个提示：

而我们知道每一个误分类点都满足-yi(wx+b)>0

因为当我们数据点正确值为+1的时候，你误分类了，那么你判断为-1，则算出来(wx0+b)<0,所以满足-yi(w*x+b)>0

当数据点是正确值为-1的时候，你误分类了，那么你判断为+1，则算出来(wx0+b>0),所以满足-yi(wx+b)>0

则我们可以将绝对值符号去掉，得到误分类点的距离为：

因为你知道，所以可以直接将绝对值去掉。那么可以得到总距离为：

不考虑w范数分之一(考虑和不考虑结果都一样，经过实验证明),我们可以得到损失函数为：

其中M为误分类点的数目。

当我们已经有了一个目标是最小化损失函数，如下图：

我们就可以用常用的梯度下降方法来进行更新，对w，b参数分别进行求偏导可得：

那么我们任意初始化w，b之后，碰到误分类点时，采取的权值更新为w,b分别为：

整理下整个过程(比如二维平面)：

a.选定初值w1,w2,b （相当于初始化了一个超平面）

b.在训练集中选取数据(xi,yi)（任意抽取数据点，判断是否所有数据点判断完成没有误分累点了，如果没有了，直接结束算法，如果还有进入c)

c.如果yi(w*xi+b)<0(说明是误分类点，就需要更新参数)

那么进行参数更新！更新方式如下：

其中η为学习率在0-1之间。

代码讲解

初始化数据

循环迭代更新

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