几千年来，人类一直在观察月相的变化。当月球向我们展示它的不同“面貌”时，月球反射的太阳光的上升和下降，被称为"相位曲线"。测量月球和太阳系行星的相位曲线是天文学的一个古老分支，至少可以追溯到一个世纪以前。这些相位曲线的形状编码了关于这些天体的表面和大气的信息。在现代，天文学家利用空间望远镜，如哈勃、斯皮策、TESS和CHEOPS，测量了系外行星的相位曲线。这些观测结果与理论预测进行了比较。为了做到这一点，人们需要一种计算这些相位曲线的方法。这涉及到寻求一个有关辐射物理学的困难数学问题的解决方案。
自18世纪以来，计算相位曲线的方法已经存在。这些解决方案中最古老的可以追溯到生活在18世纪的瑞士数学家、物理学家和天文学家约翰·海因里希·兰伯特。计算太阳系行星反射光的问题是由美国天文学家亨利·诺里斯·罗素在1916年一篇有影响力的论文中提出的。另一个著名的1981年的解决方案归功于美国月球科学家Bruce Hapke，他是在印度裔美国人诺贝尔奖获得者Subrahmanyan Chandrasekhar于1960年所做的经典工作的基础上提出的。 Hapke开创了使用相位曲线的数学解法研究月球的先河。苏联物理学家Viktor Sobolev在其1975年出版的具有影响力的教科书中也对天体反射光的研究做出了重要贡献。受到这些科学家工作的启发，伯尔尼大学空间和可居住性中心CSH的理论天体物理学家Kevin Heng发现了一整个计算相位曲线的新数学解决方案系列。这篇论文由Kevin Heng与伯尔尼大学与日内瓦大学共同管理的国家研究中心NCCR PlanetS的Brett Morris以及CSH的Daniel Kitzmann合作撰写，刚刚发表在《自然-天文学》杂志上。
普遍适用的解决方案
“我很幸运，这些伟大的科学家已经完成了这一丰富的工作。Hapke发现了一种更简单的方法来写下Chandrasekhar的经典解决方案，他著名地解决了各向同性散射的辐射转移方程。Sobolev已经意识到，人们至少可以在两个数学坐标系中研究这个问题。” Sara Seager在她2010年的教科书中对这个问题进行了总结，从而引起了Kevin Heng的注意。
通过结合这些见解，Kevin Heng能够写下反射强度（反照率）和相位曲线形状的数学解决方案，既完全在纸上又不需要借助计算机。“这些解决方案的突破性方面是，它们对任何反射法都有效，这意味着它们可以被用于非常普遍的方式。当我将这些纸笔计算与其他研究人员使用计算机计算的结果进行比较时，决定性的时刻到来了。”Kevin说：“我被他们的匹配程度吓到了。”
对木星相位曲线的成功分析
Kevin说：“让我兴奋的不仅仅是新理论的发现，还有它对解释数据的重大意义。”例如，卡西尼号航天器在21世纪初测量了木星的相位曲线，但以前没有对这些数据进行深入分析，可能是因为计算成本太高。有了这个新的解决方案系列，Kevin能够分析卡西尼号的相位曲线，并推断出木星的大气层充满了由不同大小的大型不规则颗粒组成的云。这项研究刚刚由《天体物理学杂志》发表，与美国德克萨斯州休斯顿大学的卡西尼号数据专家和行星科学家李立明合作。
分析空间望远镜数据的新可能性
Kevin表示：“在纸上写下反射光相位曲线的数学解决方案的能力，意味着人们可以在几秒钟内用它们来分析数据。”它开辟了以前不可行的解释数据的新方法。Kevin正在与Pierre Auclair-Desrotour（目前在巴黎天文台）合作，进一步推广这些数学解决方案。Kevin说：“Pierre Auclair-Desrotour是一个比我更有天赋的应用数学家，我们承诺在不久的将来会有令人兴奋的结果。”
在《自然-天文学》发表的论文中，Kevin和他的合作者展示了一种分析开普勒太空望远镜中系外行星Kepler-7b相位曲线的新方法。Brett Morris 领导了该论文的数据分析部分。“Brett Morris在我的研究小组中领导CHEOPS任务的数据分析，他的现代数据科学方法对于成功地将数学解决方案应用于真实数据至关重要，”Kevin解释说。他们目前正在与美国领导的TESS空间望远镜的科学家合作，分析TESS相位曲线数据。Kevin设想，这些新的解决方案将带来分析即将到来的、耗资100亿美元的詹姆斯-韦伯太空望远镜的相位曲线数据的新方法，该望远镜将于2021年晚些时候发射。Kevin说：“最让我兴奋的是，这些数学解决方案在我离开后仍将长期有效，并可能进入标准教科书。”
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