深入了解SVD与纠缠

字幕组双语原文：深入了解SVD与纠缠

英语原文：Understanding Entanglement With SVD

翻译：雷锋字幕组（听风1996）

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量子纠缠，你也知道，这是个充满物理含义的短语。但你可能不知道的是，它背后的线性代数很简单。如果你熟悉奇异值分解（SVD），那么你就有99%的把握了。我这篇文章的目标是缩小这1%的差距。特别是，我想解释一些叫做施密特秩的东西，希望能帮助纠缠的数学感觉不那么… 纠结。而要做到这一点，请你暂时忘记前面的几句话，暂时忽略这篇文章的标题。忘掉我们正在讨论纠结的问题，忘掉我提到的那个词，然后我们重新开始，我们就聊数学吧。

让我们聊聊SVD吧。

奇异值分解

SVD可以说是线性代数中最重要、最著名的工具之一。你可能已经对它非常熟悉了，但这里还是要快速地回顾一下。每个矩阵MM都可以分解为M=UDV† ，如下图所示，称为M的奇异值分解。对角矩阵D的元素为非负数，称为奇异值，它们的数量等于M的秩，比如说k。更重要的是，U和V正好有k列，分别称为左、右奇异值向量。

有很多种不同的方式去考虑这个问题，这具体取决于你考虑的的应用。我喜欢把奇异向量看作是为M矩阵本身固有意义的 "概念 "编码，而把奇异值看作是表示这些概念的重要性。例如，这种观点在深度神经网络的学习动力学研究中心自然出现。再举一个例子，你可以想象一个矩阵，其行是按照人为索引，其列是按照电影为索引。第 ij 项可以是 0 或 1，表示人 i 是否看过电影 j。在应用环境中–例如，推荐系统–可能希望计算这个矩阵的截断SVD。在这里只有最大的奇异值被保留。其余的值被视为包含很少的信息，并被设置为零。通过这种方式，对角矩阵D在一个低维的 "特征空间 "上运行，这为压缩和收集数据信息提供了一个很好的方法。

无论哪种方式，我都想将D看作是两个世界之间的桥梁：关于U列（例如人）的信息和关于V列（例如电影）的信息。下面是一个非常形象非数学化的漫画。您可以想象蓝色桥的宽窄与奇异值的数量有关。奇异值数量很多？那说明这座桥很宽，很多信息都可以经过。仅有几个奇异值？说明这座桥很狭窄，则没有太多信息可以通过。

在表示SVD的张量网络图中找到了实际的数学化图片。在那里，D真的是一座桥! 作为视觉提示，如果奇异值的数量很多，我们可以把蓝色节点相邻的边画得很粗，否则画得很细。这又代表了U和V所描述的系统之间信息 "流动 "的思想。

另外，如果您喜欢将矩阵视为二分图，那么您可能会想到下面的图。如果我们有很多蓝色节点，即大量的奇异值-那么粉红色和绿色节点（即人和电影）之间有很多通路。但是如果我们只有几个蓝色节点-即几个奇异值-则粉红色和绿色之间的路径就更少了。  

无论利用哪种方式，我们都希望将其可视化，其中奇异值的作用（即对角矩阵D的作用）是关键。从直观上看，它们指示U和V存储的信息之间的“交互''量，并调解了这些交互是如何有助于原始矩阵M表示的信息。

而这正是纠缠数学背后的理念。 

在物理学的背景下，人们简单地将SVD应用于一个特定的矩阵，然后观察该矩阵的非零奇异值的数量。这就是所谓的量子态的施密特秩（下文会解释）背后的主要思想，该整数表示存在多少纠缠。  

纠缠度是通过特定矩阵的非奇异值的数量来衡量的。    

那么，是什么让物理学家对SVD的应用与例如建立电影推荐系统的人有所不同呢？好吧，在物理学中，你的矩阵M大概是对一个物理系统的信息进行编码，并考虑到空间因素（例如，晶格中的粒子）。它的条目也可能包含复数，并且其平方和应满足∑ij|Mij|2=1。在这种情况下，正如我在下面解释的那样–M 代表一个量子状态。但是，除了术语之外，模板是大同小异的：奇异值传达了关于两个事务之间–无论是用户和电影，还是两个量子子系统之间–是如何关联重要信息的。

我可以就此打住，但我想再深挖一下。在下一节中，让我用稍微专业一点的语言来重述此重点。

奇异值vs.施密特秩 

首先，让我们先回顾一下。在物理学的讨论中，我们应用SVD的矩阵到底是什么？在开始的示例中，我们将SVD应用于用户-电影矩阵。但是现在是怎么回事呢？ 

我们不是从一个矩阵开始，而是从一个单位向量开始。为此，假设ψ 是向量空间Cn⊗Cm的张量乘积中的任何单位向量。在这里，重要的是我们的讨论是在张量积中进行的。毕竟，纠缠是定义在两个事物之间的（所以，如果有人问你："有多少纠缠？"一个正确的回答是："什么之间的纠缠？"），而在量子力学中，张量积是用来组合两个系统的数学运算。现在，如果你对 "张量积 "这个词不熟悉，我推荐你看 "张量积，解密 "这篇文章。我想你会对这个概念的简单程度感到惊讶!  

好了，现在我们有了向量 ψ，很容易从中得到线性映射Cm→Cn。只需将ψ的条目重塑成一个n×m的矩阵M。(说得更正式些，看一看在有限维向量空间A和B的同构A⊗B∗≅hom(B,A)下的ψ)。

用物理学的语言来说，ψ被称为量子状态，而M仅仅是与其相关的矩阵。更一般地，“单位向量”和“量子状态”这两个术语是同义词。这是因为任何单位向量的条目的平方都定义了概率分布，并且在物理学的背景下，这个概率分布告诉您正在研究的系统的状态。 （这是与生俱来的规则。）  

但是我跑题了，让我们回到SVD。

我们假设矩阵 M 的奇异值分解由 UDV† 得到，这里我gagger表示 V 的共轭转置，因为我们允许 M 有复数项。现在我想借助这种分解方式来以一种较为复杂的方式重新表示 M。设ui和vi分别表示U和V的第i个列，使di表示M的第i个奇异值。之后我们可以将矩阵M展开为下面的和，其中k是M的秩。

我们快到最关键的部分了，但让我先介绍一个定义，然后再做最后一个外观上的改变。

对于任何两个向量u和v，矩阵uv†称为其外积。这个简单的操作也可以用张量积符号u⊗v表示，或者在物理学家的布雷克符号里用 |u⟩⟨v|表示。举例来说，如果u=[123]⊤，v=[45]⊤，那么它们的外积就是下面的小矩阵。

为什么要介绍这个呢？我们回想一下上面那个MM的扩展。在uv†↔u⊗v的对应关系下，我们可以使用U和V的列显式编写ψ，并按M的奇异值加权，如下所示： 

在这一点上，你可能会认为我们并没有做很多（而且实际上也没有），然而现在我们已经为熟悉的事物赋予了新的名称。在物理学的背景下，ψ的上述分解过程称为Schmidt分解。原始矩阵MM的秩即整数kk被称为施密特秩。奇异值d1,d2,…,dk称为其施密特系数。

尽管术语是新的，但内容却不是。这就是重点。

划重点：如果量子态ψ的施密特秩（即奇异值的数量）严格大于1，则称其为纠缠态，否则不是纠缠态。

所以，您看到与我们上面讨论的联系了吗？正如我们前面所强调的，奇异值可以被认为是在两个子系统之间提供了一座 "桥梁"。它们是衡量它们之间存在多少相互作用的方法。在物理学的背景下，这种相互作用被理解为纠缠。

其结果是，大量的奇异值数量–即高施密秩或 "宽的桥梁"–对应于两个子系统之间的大量交流。少量的奇异值–即低施密特秩或 "窄的桥梁"–对应于很少的通信交流。在最低的极端情况下，一个奇异值对应于零纠缠，我们不妨忽略下图中的极窄的细桥。

事实上，请注意，如果ψ的施密特秩等于1，也就是说，如果M是一个秩为1的矩阵M=uv†，那么我们可以写成ψ=u⊗v。在数学文献中，这种形式的向量（即向量的张量乘积）有时被称为简单张量。为此，一些数学家将纠缠与 "简单张量的线性组合 "相关联。到现在为止，我希望原因大家都已经清楚了。

归根结底是SVD。

回到应用…

今天的文章部分是受Daniela Witten热情洋溢的Twitter话题的启发，这些话题涉及SVD的许多奇观和用途。我想在今天的文章中告诉你SVD的另一个用途–希望能帮助你把一个复杂的想法变得更简单一点。当然，我在讨论中省略了很多内容，但我希望这是一个有用的起点，以便进一步阅读。

作为结尾，我以对数据科学致敬作为本文的开始。的确，人们不需要做任何关于量子的假设就可以谈论SVD，但是SVD是研究量子系统的重要数学工具。而有趣的是，这两种对话并不是正交的。比如，这里有一篇X公司同事最近的论文：Entanglement and Tensor Networks for Supervised Image Classification。在那里，他们测试记录了MNIST手写数据集中图像上下半部分之间的纠缠量（Schmidt rank）。换句话说，他们探索了标准机器学习数据集的纠缠特性。希望我今天的讨论可以帮助这样的论文变得更容易理解。

只要记住：每当你看到纠缠这个词，请联想到SVD!

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