100年后，数学家终于推导出了它的公式

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：Harrison Tasoff，编译：Måka，头图来源：视觉中国

一

在自然界中，湍流是一种格外常见的现象，它却让许多研究人员头疼不已。一个多世纪以来，数学家们一直在试图理解流体与边界相互作用时产生的湍流。

现在，一组国际数学家团队发表了对边界层湍流的完整描述。这项研究综合了这一领域几十年来的研究成果，将经验观测与描述了流体动力学数学基础的纳维尔-斯托克斯方程整合进一个数学公式中。论文已于近日发表在《物理评论研究》上。

二

1920年左右，物理学家西奥多·冯·卡门（Theodore von Kármán）和路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl）首次描述了湍流这一现象。他们研究的是所谓的边界层湍流，就是流体与边界（比如流体表面、管壁、地球表面等）相互作用时产生的湍流。

普朗特通过实验发现，可以根据靠近边界的程度将边界层划分为四个不同的区域。

黏性层会在边界旁形成，湍流在此处会受到流体厚度的阻尼。接下来是一个过渡的缓冲区，随后是惯性区，湍流在惯性区会得到最充分地发展。最后是尾流，根据冯·卡门的公式，边界层流体的流动在这里受到边界影响最小。

流体在边界层不同部分的平均速度曲线（白）和方差（蓝）。| 图片来源：Birnir et al.

流体在离边界越远的地方流动得越快，但其速度变化的方式非常特殊。流体的平均速度会在黏性层和缓冲区中增加，然后在惯性区中转变为一种以对数函数变化的模式。让科学家最无法理解的便是这个“对数定律”，他们一直尝试解开这种模式的来源，以及如何用数学精确描述它。

除了速度之外，水流的方差，也就是偏离平均速度的水平，也在边界层的不同区域表现出了特殊行为模式。这两个变量的解释和推导一直是研究的焦点。

20世纪70年代，澳大利亚机械工程师阿尔伯特·艾伦·汤森（Albert Alan Townsend）提出，平均速度曲线的形状受到附着在边界上的涡流的影响。这确实可以解释曲线在不同层中出现的奇怪形状，以及对数定律背后的物理学。

时间快进到2010年，伊利诺伊大学的数学家发布了对于这些附着涡流的一个正式描述。这项研究还阐述了这些涡流如何将能量从边界转移到流体的其余部分。

研究呈现了涡流的一个完整的层次。较小的涡流为一直延伸到惯性区的那些较大涡流提供了能量，这也能帮助解释对数定律。

湍流边界层中的大涡流。| 图片来源：M. GAD-EL-HAK

但在流体中，还存在着一些分离的涡流，它们可以在流体中移动。这些分离涡流在边界层的湍流中也起着重要作用。

在这项新研究中，科学家主要发现了推导出这些分离涡流的正式描述。他们惊讶地发现，分离涡流其实格外重要，特别是在解释缓冲区中的湍流转变时。想要得到平均速度曲线的精确形状，就必须在理论中囊括这些分离涡流。

随后，团队将所有这些见解结合在一起，推导出了平均速度和方差的数学公式，也就是对100多年前首次描述的边界层湍流现象的数学阐述。

他们还将公式与计算机模拟和实验数据进行了比较，从而验证了他们的结果。换句话说，我们终于有了一个完整的分析模型来解释这个系统。

三

有了这个新的数学公式，科学家和工程师可以调整不同的参数来预测流体的行为。

边界层湍流出现在从交通运输到气象等各个领域。例如，对边界湍流的正确理解有助于提高发动机的效率，减少污染物，并最大限度地减少各种车辆的阻力。

更好地理解边界湍流可以揭示地球的急流现象。| 图片来源：NASA

地球大气也可以被模拟为边界流。尽管高度很高，但大气层本质上是一层薄薄的运动空气，紧贴着地球表面。科学家或许也能利用这一理论来理解大气湍流和急流。

此外，研究分离涡流的行为可以为其他类型湍流的理解提供方向。参与研究的Björn Birnir教授介绍，这特别可以帮助我们深入了解拉格朗日湍流。这一理论可以简单理解成在一个随水流移动的参考系中描述湍流行为。相反，欧拉湍流理论则描述了流体在经过固定参考系时的运动。两者的差别就像一个是随水漂流的木筏，另一个则是固定在水中的桥墩。

附着涡流在移动的参考系中会“消失”，就像在你顺流而下时，水流看起来好像“消失”了一样。但分离涡流仍旧存在，并且似乎在拉格朗日湍流中起到了重要作用。团队目前也正使用这些新工具着重探索拉格朗日湍流理论中的各种细节。

参考资料：

[1]https://www.news.ucsb.edu/2021/020467/clear-description-turbulent-water

[2]https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/PhysRevResearch.3.043054

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