LeetCode如何求n个骰子的点数

题目描述

把 n 个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为 s。输入 n，打印出 s 的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

• 1 <= n <= 11

题目样例

示例

• 输入: 1

• 输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

• 输入: 2

• 输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

题目思考

1. 可以根据 n 个骰子的概率推导出 n+1 个骰子的概率吗

解决方案

思路

• 分析题目, 先从 1 个骰子的最简单情况出发, 显然点数为 1~6 的概率都是 1/6
• 那如果是 2 个骰子呢? 假设第一个骰子点数为 1, 第二个可以是 1~6, 两者之和就是 2~7; 而如果第一个点数为 2, 那么两者之和就是 3~8, 以此类推
• 显然 2 个骰子点数之和为 2 的概率是
                          (1/6)*(1/6)=1/36, 只有 1+1 一种情况; 而点数之和为 3 的概率是
                          1/36+1/36=1/18, 有 1+2 和 2+1 两种情况, 以此类推
• 所以如果我们使用一个字典来保存当前骰子数 n 的每个点数之和的概率, 即键值对是
                          {点数和:概率}, 那么对于 n+1 而言, 我们只需要对每个点数之和加上 1~6 作为新的点数之和, 将原有概率乘以 1/6 累加到新的点数和对应的概率上即可
• 最后只需要根据有效点数之和从小到大, 将字典中的值依次存入最终结果中
• 对于 n 个骰子而言, 其点数之和最小为 n (每个骰子点数都是 1), 最大为
                          6*n (每个骰子点数都是 6)
• 下面代码对必要的步骤有详细的解释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N^2): 两层循环, 外层遍历 N 个数, 内层遍历
                          5N*6 个数
• 空间复杂度 O(N): 字典中需要存 5N 个键值对

代码

import collections


class Solution:
    def twoSum(self, n: int) -> List[float]:
        # DP, dp为当前的点数和=>概率的字典, 初始化dp[0] = 1, 代表0个骰子时点数之和为0的概率为1
        # 增加一个骰子后, 我们只需要对原来字典的每个点数之和加上 1~6 作为新的点数之和, 并将原有概率乘以 1/6 累加到新的点数和对应的概率上即可
        dp = {}
        dp[0] = 1
        for i in range(1, n + 1):
            newdp = collections.defaultdict(int)
            for sm in dp:
                for v in range(1, 7):
                    # 增加一个骰子后, 累加其概率到新的点数和上
                    newdp[sm + v] += dp[sm] / 6
            dp = newdp
        res = []
        for sm in range(n, 6 * n + 1):
            # 将值依次存入结果中
            res.append(dp[sm])
        return res