《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题

2 月 6 日 12 时，《张朝阳的物理课》第二十六期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，开讲谐振子模型的量子化问题。张朝阳先回顾经典力学中谐振子的运动方程、势能，再从双原子分子中两个原子间的势能出发，通过泰勒展开得到最低势能点附近的谐振子近似，以此阐述了谐振子在微观世界的普遍性，最后通过求解谐振子的薛定谔方程，带领网友成功理解谐振子模型的量子化问题。

回顾经典线性谐振子：胡克定律与运动方程

张朝阳先带着网友回顾经典力学中的谐振子问题。以弹簧-小球模型为例，在经典力学中，谐振子的回复力是 F=-kx，即所谓的胡克定律。根据牛顿第二运动定律，可以得到谐振子的运动方程：

他告诉网友，在通常的处理中，物理学家会通过定义角频率 ω0=√(k / m) 来简化符号的使用。他快速给出上述方程的解的形式：x=Re [x0 e^(iω0 t)]。他提醒说，“谐振子以正弦的形式振动，ω0 是振动的角频率。”他也顺势介绍谐振子在振动过程中，动能和势能互相转化，总能量保持不变。在谐振子中，势能的微分 du=-Fdx，于是得出谐振子的势能公式。

分子势能模型：选取平衡位置点 泰勒展开做近似

谐振子是弹簧的理想模型，但是微观世界并没有弹簧，那么谐振子对于量子力学有什么意义呢？张朝阳以双原子分子为例，对此作出生动的介绍。他在小白板上明示双原子分子中的两个原子之间的势能。

双原子分子中的两个原子之间的势能曲线 (右上角)

他说，“这个势能曲线有一个最低点。”从经典力学来看，当系统能量比较小时，双原子分子将会处在最低能处附近。而势能曲线在势能最低的形状恰好和抛物线类似，因此可以近似成谐振子。对此，张朝阳带着网友进行公式推导，主要方法来自于势能在能量最低点的泰勒展开：

他提醒网友，“省略号表示泰勒展开的高阶项，可忽略。”他还指出，在势能最低点，势能的一次导数为 0，于是上式的一次项为 0。把二阶导数记为 k，重新定义势能零点和坐标原点，即可以把势能近似为谐振子势能的形式：

“谐振子在物理中显得特别重要”，张朝阳强调了这个结论的普遍性。总的来说，只要是考虑势能极小值附近的微扰问题，都可以近似为谐振子。

求解薛定谔方程：谐振子能级与波函数

提到谐振子的哈密顿算符，张朝阳再列公式做推导。

“μ 是等效质量”，他说，处理氢原子的时候由于质子比电子重很多，质子可以近似为在质心系中静止，因此哈密顿量可以直接用电子质量 m。但是对于双原子分子，分子间的质量相差不大，哈密顿量里边的质量不能再直接使用其中某个原子的质量。

“有了谐振子的哈密顿量之后，就可以直接写出定态薛定谔方程了。”他告诉网友。

于是，张朝阳作了变量代换：

其中关于 ξ 的二次项已经被消掉了。至此，张朝阳将 H 展开成幂级数代入方程，得到了系数的递推关系。（备注：后面将看到波函数中的 H 函数为 Hermite 多项式形式，故这里取其首字母。）

紧接着，张朝阳分析了如此递推公式下的幂级数，如果不截断成多项式，会导致波函数不满足边界条件，也就是波函数无法归一化。如果要求这个幂级数截断成多项式，则有 2k+1-λ=0，从而 λ=2k+1。按照一般习惯将 k 写为 n，再结合前方变量代换中 λ 和 E 的关系，可得：

据此，张朝阳强调，谐振子的能量不是连续的，而是存在间隔的。这就是谐振子量子化的体现。他说，“经典力学中的谐振子能量就像斜坡，量子力学中的谐振子能量则是台阶，一级一级的。”

最后，他还介绍了谐振子定态波函数的具体形式。

拓展讨论：基态波函数、不确定性关系、等间距能级与零点能

张朝阳以谐振子基态波函数为例，强调基态的概率分布是高斯分布。先是通过概率分布的集中部分估算了 Δx，然后根据动量和能量的关系估算了 Δp，最后确认了两者的乘积确实满足不确定性关系。

谐振子基态满足不确定性关系

他强调，谐振子最低能态 (n=0 的态) 的能量不是 0，也就是具有所谓的“零点能”。这是和经典力学不一样的。不过，由于谐振子相邻能级之间的差为固定值，而热激发只和能量差有关，因此，当年普朗克的黑体辐射公式才能和实验完全吻合。