我们至今仍在思考他出的题目

谨以此文纪念希尔伯特诞辰160周年。本文来自微信公众号：复旦青年（ID：fduyouth），作者：严月，编辑：尹逸昕，审核：甲干初，首发于1月23日，头图来自：IC photo

Wir müssen wissen, Wir werden wissen.

我们必须知道，我们必将知道。

——大卫·希尔伯特

作为一名学生，谁也不希望参加大卫·希尔伯特出题的考试。据说在一次考试前，有一名学生询问他应当怎样准备数学考试。

“你觉得自己哪方面准备得最差？”希尔伯特问。

“在环论中有关理想（Ideal）的部分。”

于是，希尔伯特在考试那天问的全是有关理想论的问题。

“啊啊……我正好想瞧瞧你对于所不了解的东西懂得多少……”

这样的老师或许是令人生畏的。但是在20世纪初，全世界学习数学专业的学生都收到了同样的忠告：

“打起你的背包，到哥廷根去！”

从格尼斯堡到哥廷根

1862年1月23日，希尔伯特诞生在大哲学家康德的故乡——德国格尼斯堡。

原为格尼斯堡，今为加里宁格勒/图源：Wikipedia

他童年时所上的学校以语言课为主，这让他十分吃力。但同时，他发现数学课对他来说既轻松又有趣。尽管在学校，希尔伯特没有深入学习到很多数学知识，但他在心里认定：“以后就是要研究这门学科。”

进入格尼斯堡大学后，希尔伯特开始疯狂学习数学知识。然而，那时的人们对一般的科学抱有极度悲观的看法，认为某些超验的问题是无法解答的。

可是希尔伯特却不以为然。在完成了有关“代数形式不变性”的博士论文后，他前往莱比锡寻找菲力克斯·克莱因（Felix Klein）学习，克莱因十分赏识这位博士，又推荐他到巴黎去进修。

等希尔伯特再从巴黎回到格尼斯堡时，他已经成为了格尼斯堡大学的一名讲师——自此，他决定不教重复的课，并且要继续自我教育，研究数学问题。

希尔伯特首先把目光投向了“果尔丹”问题——当时最著名的代数不变量问题。谁也没想到的是，他出人意料地找到了一种全新的路径，用一条极其简单而平凡的引理解决了这个难题。之后，希尔伯特继续用出奇直接的方法给出了e和π超越性的证明，大大胜过以前的方法。

在接到克莱因的邀请后，希尔伯特又来到哥廷根继续教授和研究数学。

不久，他所作的有关数论的《年度报告》再次令人惊叹。其中内容直接推动了同调代数的发展，而同调代数在代数几何和代数拓扑中都起着十分重要的作用。更令整个数学界震撼的是，他接下来写出的《几何基础》一书，把几何学引进了一个更加抽象的公理化系统，但又十分简洁自然。

正当大家惊叹于希尔伯特是如何从数论横跳到几何时，他又闯入了全新的数学领域发表研究。希尔伯特空间、希尔伯特变换、希尔伯特不等式、数学物理方法……他的研究成果震撼了所有人。

思考中的希尔伯特

所谓“大师风范”

希尔伯特取得的成果，始终贯穿着他独特的风格。

大多数与希尔伯特同时代的数学家都把对于严格性的要求看作沉重的负担，然而希尔伯特却坚定地相信：严格性有助于方法的简化。

他从问题的本原、原始的概念出发，以质朴无华、摆脱传统偏见的精神对数学进行探索。每当发现别的数学家的方法比自己的更接近目标时，希尔伯特便毫无反悔地放弃自己原来的计划。

希尔伯特对严格和清晰的要求同样体现在他的行文和讲演中，连苛刻的语言爱好者都如此评价他的文章：“仿佛是在一片阳光灿烂的开阔地上疾步穿行，在需要攀登一座山峰之前，放眼环顾，山石的轮廓和连通的道路都一目了然。”

当然，希尔伯特的风格不仅只有严格的色彩。

他不能容忍数学课只是填鸭式地向学生灌输各种事实，而不去教会他们怎样提出问题和解决问题。“他会用充分的时间去解释一个问题”，他的学生回忆道，“使得接下去的证明显得那么自然，以致我们惊异为什么自己没有想到它。”

希尔伯特的数学课堂同样也是一场孕育伟大思想的旅程，所有学生都被卷进了数学发展的洪流中，一同徜徉。“妙极了”，刚听完希尔伯特微积分课的学生说，“我们身临其境地瞧见了希尔伯特创造出这个必须的新概念。”

他的家和微积分课堂之间有一段缓缓的斜坡，只要地上积起足够多的雪，希尔伯特总喜欢滑着雪去上课。碰上这种日子，他会穿着肥大的滑雪靴上气不接下气地冲进讲课大厅，跳上讲台的功夫立刻开讲。

他也喜欢跳舞，喜欢在暖和的日子穿着开襟短袖衬衫去上课。在当时，这样的衣着足以令因循守旧的人们感到吃惊。

可是希尔伯特从不跟从大流而因循守旧。当他发现女数学家诺特的才华后，针对所有人的反对，希尔伯特力排众议，说出了一句流传至今的话：

“先生们，我不认为候选人的性别是不能让她当讲师的理由。大学毕竟不是澡堂。”

三次演讲

1900年，新世纪诱人地展现在希尔伯特眼前。他受邀为第二次国际数学家代表大会作主要发言。

他整整思考了六个月。

演讲当天，一位不到40岁模样的人登上了讲坛。

“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮，将追求什么样的特殊目标？”

这就是著名的希尔伯特23问，即希尔伯特认为的二十世纪最重要的23个数学问题。有些问题在如今已经被解决，有些仍然留有悬念。对于如今的数学研究者来说，能解决这些问题其中的一个，都是无上光荣。

“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，要去找出它的答案！你能够通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！”希尔伯特如此坚信。

希尔伯特1900年的演讲稿/图源：Research Gate

然而过了十多年，德国挑起了一战。

一战开始时，德国政府让德国著名的科学家和艺术家为一个虚伪的“告文明世界”宣言签字。希尔伯特从头至尾，像检查数学证明一样审查这份愚蠢的宣言——“这不对吧……”最后，他因不能判断宣言上所说的话是否都是事实，而拒绝签名。

等一战结束后，德国数学家一直没有收到任何国际会议的邀请。直到1928年，筹办方才终于下定决心恢复德国学者的参会资格。尽管那时希尔伯特旧病复发，但66岁的他毅然率领由67名数学家组成的代表团，跋山涉水出席会议。

这是德国数学家战后第一次出席国际会议。

在开幕式上，当德国代表团进入会场时，人们看到一个熟悉的，但已显得比从前苍老得多的人物走在前面。刹那间，全场鸦雀无声。接着，一阵爆发的掌声打破了短暂的寂静，所有人都站起来热烈鼓掌。

希尔伯特在演讲

“我感到万分高兴”，希尔伯特依旧用他熟悉的口音说道，“数学不分种族……对于数学来说，整个文明世界就是一个国家。”在他看来，任何形式的限制和虚荣的花边都是与数学的本质格格不入的。

希尔伯特一直致力于数学事业的传播，致力于让更多的听众接触数学思想。1930年的夏天，希尔伯特即将在自己的故乡格尼斯堡演讲。

他为自己的老乡康德献上了崇高的敬意。“我相信”，希尔伯特告诉他的听众，“康德的认识论之最一般、最基本的思想仍然有它的重要性。”

他还认为：“繁荣人类的精神是一切科学的唯一目的。”在壮年时，他引导他的听众去寻求23个问题的解答，现在垂垂老矣，他依旧怀有对这种理性的坚信。

在一生的科学事业临近结束时，他对着话筒，有力地说出了演讲的最后一句：

“我们必须知道，我们必将知道。”

曲终人散

这次演讲不久后，有一位叫哥德尔的年轻人研究了希尔伯特所提的有关完全性的问题，并证实了谓词演算的完全性；接着他证明了一个被后人称为“哥德尔不完全性定理”的轰动结论。

这个结论几乎摧毁了希尔伯特的形式主义纲领，而希尔伯特对数学的信心，很大程度也建立在这个纲领之上。因此在感情上，他几乎无法接受哥德尔的结论。

但希尔伯特还是极快速地调整过来，尝试用建设性的方法讨论这个问题。可惜年近古稀，他的数学事业已经开始走向薄暮。

年老的希尔伯特

过了一段时日，希特勒当上了德国总理，他一声令下要学校辞退几乎所有从事教学工作的纯犹太人。希尔伯特又遭受了极大的打击——他一向不允许任何偏见掺入科学研究。然而，他的朋友一个个地离开了哥廷根，离开了大学，他痛苦到了极点。

曾经被全世界向往的、辉煌的哥廷根数学研究，几乎只剩他独自一人。

一次宴会上，希尔伯特坐在新任命的纳粹教育部长旁边，当他被问道：“现在哥廷根的数学已经完全摆脱了犹太人的影响，情况怎么样？”

“哥廷根的数学？”希尔伯特答道，“确实，这儿什么都没有了。”

不久，希尔伯特孤独离世。又过了一段时日，他和康德的故乡，格尼斯堡，落入俄国人之手。

希尔伯特墓碑上的德文：我们必须知道，我们必将知道

今天，人们仍然纪念希尔伯特，不仅仅是在他160周年诞辰之际。尽管他并不喜欢强行记忆，但正如他所说，这样做即使会有些叨扰，但“也许对数学有好处”。

本文来自微信公众号：复旦青年（ID：fduyouth），作者：严月，编辑：尹逸昕，审核：甲干初