所谓表达式，就是由变量、常量以及运算符组合而成的式子。其中，常用的运算符无非 !（阶乘运算符）、^（指数运算符）、+、-、*、/ 、( ) 这几种，比如3!+4*2/(1-5)^2就是一个表达式。
那么，如何用栈结构求一个表达式的值呢？实际上，已经有前辈设计好了一种完美的解决方案。
1929 年，波兰逻辑学家 J・卢卡西维兹提出了一种全新的表示表达式的方法，称为后缀表达式或者逆波兰表达式。和普通表达式不同，后缀表达式习惯将运算符写在它的运算项之后，且整个表达式中不用括号 () 表明运算的优先级关系。
以 3! 为例，! 为 运算符，3 为运算项，因此 3! 本身就是一个后缀表达式；再以 4*2 为例，* 为运算符，4 和 2 作为它的运算项，其对应的后缀表达式为 4 2+。
在此基础上，我们试着将 3!+4*2/(1-5)^2 转换成后缀表达式，其过程也就是将表达式中所有运算符放置在它的运算项之后：
-
! 运算符对应的运算项为 3，转换后得到
3 !； -
+ 运算符对应的运算项是 3! 和 4*2/(1-5)^2，转换之后得到：
3! 4*2/(1-5)^2 +； -
* 运算符对应的运算项是 4 和 2，转换之后得到
4 2 *； -
/ 运算符对应的运算项是 4 2 * 和 (1-5)^2，转换后得到
4 2 * (1-5)^2 /； -
– 运算符对应的运算项是 1 和 5，转换后得到
1 5 -； -
^ 运算符对应的运算项是 1 5 – 和 2 ，转换后得到
1 5 - 2 ^。
整合之后，整个普通表达式就转换成了3 ! 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +，这就是其对应的后缀表达式。
不难发现，后缀表达式完全舍弃了表达式本该有的可读性，但有失必有得，相比普通表达式，后缀表达式的值可以轻松借助栈存储结构求得。具体求值的过程是：当用户给定一个后缀表达式时，按照从左到右的顺序依次扫描表达式中的各个运算项和运算符，对它们进行如下处理：
- 遇到运算项时，直接入栈；
- 遇到运算符时，将位于栈顶的运算项出栈，对于 ! 运算符，取栈顶 1 个运算项；其它运算符，取栈顶 2 个运算项，第一个取出的运算项作为该运算符的右运算项，另一个作为左运算项。求此表达式的值并将其入栈。
经过以上操作，直到栈中仅存在一个运算项为止，此运算项即为整个表达式的值。
以3 ! 4 2 * 1 5 - 2 ^ / +表达式为例，求值的过程为：
1) 从 3 开始，它是运算项，因此直接入栈：
2) ! 作为运算符，从栈顶取 1 个运算项（也就是 3），求 3! 的值（3! = 3*2*1=6）并将其入栈：
3) 将 4 和 2 先后入栈：
4) 对于 * 运算符，取栈顶 2 个运算项（ 2 和 4），其中先取出的 2 作为 * 的右操作数，4 作为左操作数。求的 4* 2 的值 8 ，并将其入栈：
5) 将 1 和 5 先后入栈：
6) 对于 – 运算符，取栈顶 2 个运算项（5 和 1），计算出 1-5 的值为 -4，将其入栈：
7) 将 2 入栈：
8) 对于 ^ 运算符，取栈顶 2 个运算项（2 和 -4），计算出 -4^2 的值 16 ，将其入栈：
9) 对于 / 运算符，取栈顶 2 个运算项（16 和 8），计算出 8/16 的值 0.5，将其入栈：
10) 对于 + 运算符，取栈顶 2 个运算符（0.5 和 6），计算出 6+0.5 的值 6.5，将其入栈：
由此，整个求值的过程就结束了，最终表达式的值为 6.5。如下给出了实现此过程的参考代码：
//根据给定的后缀表达式 postexp，计算它的值
typedef struct
{
double data[MAXSIZE];
int top;
}Stack_num;
void InitStack_num(Stack_num **s)
{
*s = (Stack_num *)malloc(sizeof(Stack_num));
(*s)->top = -1;
}
bool Push_num(Stack_num **s, double e)
{
if ((*s)->top == MAXSIZE - 1)
return false;
(*s)->top++;
(*s)->data[(*s)->top] = e;
return true;
}
bool Pop_num(Stack_num **s, double *e)
{
if ((*s)->top == -1)
return false;
*e = (*s)->data[(*s)->top];
(*s)->top--;
return true;
}
//计算后缀表达式的值
double compvalue(char *postexp)
{
Stack_num *num;
int i = 1;
double result;
double a, b;
double c;
double d;
InitStack_num(&num);
//依次扫描整个表达式
while (*postexp != '/0')
{
switch (*postexp)
{
case '+':
Pop_num(&num, &a);
Pop_num(&num, &b);
//计算 b+a 的值
c = b + a;
Push_num(&num, c);
break;
case '-':
//计算 b-a 的值
Pop_num(&num, &a);
Pop_num(&num, &b);
c = b - a;
Push_num(&num, c);
break;
case '*':
Pop_num(&num, &a);
Pop_num(&num, &b);
//计算 b*a 的值
c = b * a;
Push_num(&num, c);
break;
case '/':
Pop_num(&num, &a); // a是除数
Pop_num(&num, &b);
//计算 b/a 的值
if (a != 0)
{
c = b / a;
Push_num(&num, c);
}
else
{
printf("除0错误！/n");
exit(0);
}
break;
case '^':
Pop_num(&num, &a); // a是指数
Pop_num(&num, &b);
//计算 b^a 的值
if (a != 0)
{
i = 1;
c = 1;
while(i <= a) {
c = c * b;
i++;
}
}
else if(b != 0)
{
c = 1;
}
else {
c = 0;
}
Push_num(&num, c);
break;
case '!':
Pop_num(&num, &a);
//计算 a! 的值
c = 1;
i = a;
while (i != 0) {
c = c * i;
i--;
}
Push_num(&num, c);
break;
default:
//如果不是运算符，就只能是字符形式的数字，将其转换成对应的整数
d = 0;
while (*postexp >= '0' && *postexp <= '9')
{
d = 10 * d + (*postexp - '0');
postexp++;
}
Push_num(&num, d);
}
postexp++; //继续下一个字符
}
Pop_num(&num, &result);
return result;
}
根据上面的讲解，我们学会了如何求后缀表达式的值。但对于普通用户来讲，另其输入一个正确的后缀表达式显然是不实现的，我们只能要求他们输入一个正确的普通表达式。这就引出了一个问题，即如何将一个普通表达式转换成后缀表达式？
后缀表达式的转换
幸运的是，针对这个问题，伟人迪杰斯特拉给出了一个完美的解决方案，称为调用场算法，该算法可以实现将一个普通表达式转换成后缀表达式。
调用场算法的实现，需要借助一个空栈（假设栈名为 Optr）和一个空数组（假设数组名为 postexp）。对于给定的一个普通表达式，调用场算法的转换过程是：逐个遍历表达式中的每个字符：
- 如果为 '0'~'9' 的字符，将其添加到 postexp 数组的末尾；
- 如果该字符为除 ‘(’ 和 ')' 以外的运算符，将其与 Optr 栈顶的运算符进行大小比较，如果该运算符大于栈顶运算符，则将其入栈；反之，如果该运算符小于栈顶运算符，则将栈顶运算符出栈并添加到 postexp 数组的尾部，然后继续拿当前运算符同新的栈顶运算符做大小比较，以此类推。
- 如果该字符为 '(' 运算符，直接入栈；如果为 ')' 运算符，依次取 Optr 栈顶运算符并将其添加到 postexp 数组末尾，直到遇到 '(' 字符为止（注意，'(' 字符也从栈顶取出，但不将其添加 postexp 数组中）。
依照以上处理过程，直到将普通表达式遍历完毕，如果 Optr 栈中仍有运算符，依次将它们出栈并添加到 postexp 数组尾部。最终，postexp 数组内存储的表达式就是转换后的后缀表达式。
值得一提的是，第 2 步中关于运算符的大小比较，迪杰斯塔拉给出了如下所示的表格：
| 当前运算符 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| + | – | * | / | ^ | ! | ||
| 栈顶运算符 | + | > | > | < | < | < | < |
| – | > | > | < | < | < | < | |
| * | > | > | > | > | < | < | |
| / | > | > | > | > | < | < | |
| ^ | > | > | > | > | > | < | |
| ! | > | > | > | > | > | > | |
| ( | < | < | < | < | < | < | |
如表 1 所示，假设栈顶运算符为 *，当前遍历到的运算符为 +，则根据表 1 中第 3 行第 1 列可知，* > +（注意不是 + > * ），即当前运算符小于栈顶运算符。根据调用场算法的处理规则，需将 * 出栈并添加到 postexp 数组的尾部，继续用 + 运算符同新的栈顶运算符做比较，以此类推。
以3!+4*2/(1-5)^2为例，接下来为大家演示调用场算法的整个转换过程。遍历整个表达式：
1) 对于字符 3，直接将其添加 postexp 数组的尾部：
2) 遍历至 !，将其与 Optr 栈顶字符进行比较，由于此时 Optr 为空栈，因此直接将 ! 入栈：
3) 遍历至 +，Optr 栈顶运算符! > +，将 ! 从 Optr 栈中取出并添加到 postexp 数组末尾。此时，Optr 栈为空，将 + 入栈：
4) 遍历至 4，直接添加到 postexp 数组末尾：
5) 遍历至 *，Optr 栈顶运算符+ < *，所以将 * 入栈：
6) 遍历至 2，将其添加至 postexp 数组的末尾：
7) 遍历至 /，Optr 栈顶运算符* > /，将 * 取出并添加到 postexp 数组末尾：
继续用 / 同 Optr 栈顶的 + 运算符比较，+ < /，将 / 入栈：
8) 遍历至 (，直接入栈：
9) 遍历至 1 ，将其添加到 postexp 数组末尾：
10) 遍历至 -，Optr 栈顶运算符( < -，将 – 入栈：
11) 遍历至 5，添加到 postexp 数组末尾：
12) 遍历至 )，对 Optr 栈一直做出栈操作并将出栈元素添加到 postexp 数组末尾，直到将 ( 取出：
13) 遍历至 ^，Optr 栈顶运算符/ < ^，将 ^ 入栈：
14) 遍历至 2，将其添加到 postexp 数组末尾：
15) 将 Optr 栈做出栈操作，并逐个将出栈元素添加到 postexp 数组末尾，直至 Optr 栈为空：
显然，postexp 数组中存储的就是3!+4*2/(1-5)^2对应的后缀表达式。
如下为调度场算法的实现代码：
// 字符栈
typedef struct
{
char data[MAXSIZE];
int top;
}Stack;
void InitStack(Stack **s)
{
*s = (Stack*)malloc(sizeof(Stack));
(*s)->top = -1;
}
bool Push(Stack *s, char e)
{
if (s->top == MAXSIZE - 1)
return false;
s->top++;
s->data[s->top] = e;
return true;
}
bool Pop(Stack **s, char *e)
{
if ((*s)->top == -1)
return false;
*e = (*s)->data[(*s)->top];
(*s)->top--;
return true;
}
bool GetTop(Stack **s, char *e)
{
if ((*s)->top == -1)
return false;
*e = (*s)->data[(*s)->top];
return true;
}
bool StackEmpty(Stack **s)
{
if ((*s)->top == -1)
return true;
return false;
}
// 将中缀表达式转换成后缀表达式
void trans(char *exp, char postexp[])
{
int i = 0;
char e;
Stack *Optr;
InitStack(&Optr); //初始化操作符栈，为存储后缀表达式做准备
while (*exp != '/0') // 对每个字符进行判断处理
{
switch (*exp)
{
//单独处理括号
//如果是左括号，直接入栈
case '(':
Push(Optr, '(');
exp++;
break;
//如果为右括号，一直出栈操作，直到将 ( 也出栈
case ')':
Pop(&Optr, &e);
while (e != '(')
{
postexp[i++] = e;
Pop(&Optr, &e);
}
exp++;
break;
// + - 优先级相同，当做同一种情况处理
case '+':
case '-':
//由于 + - 的优先级只比 ( 大，所有只要栈顶字符不为 ( 就一直出栈；反之，则将 + - 入栈。
while (!StackEmpty(&Optr))
{
GetTop(&Optr, &e);
if (e == '(')
break;
else
{
postexp[i++] = e;
Pop(&Optr, &e);
}
}
//最后将 + - 入栈
Push(Optr, *exp);
exp++;
break;
case '*':
case '/':
// * / 优先级比 * / ^ ! 小，所有如果栈顶运算符是它们，就出栈；反之就将 * / 入栈
while (!StackEmpty(&Optr))
{
GetTop(&Optr, &e);
if (e == '/' || e == '*' ||e=='^' || e=='!') // * / 的优先级仅仅低于它前面的 * /，高于前面的 + -，所以要将前面的 * / 弹出栈；+ - 保留，因为新的 * / 会放在栈低，优先级高。
{
postexp[i++] = e;
Pop(&Optr, &e);
}
else
break; // 其他情况（ + - 左括号 ）退出，
}
//最后将 / * 入栈
Push(Optr, *exp);
exp++;
break;
case '^':
// ^ 优先级仅比 ^ ! 小，如果栈顶运算符是它们，则出栈；反之将 ^ 入栈
while (!StackEmpty(&Optr))
{
GetTop(&Optr, &e);
if (e == '^' || e == '!')
{
postexp[i++] = e;
Pop(&Optr, &e);
}
else
break; // 其他情况（ + - * / ( ）退出，
}
Push(Optr, *exp); //最后将 ^ 入栈
exp++;
break;
case '!':
// ! 优先级仅比 ! 小，所有如果栈顶运算符为 !,则将其出栈；反之，将 ! 入栈
while (!StackEmpty(&Optr))
{
GetTop(&Optr, &e);
if (e == '!')
{
postexp[i++] = e;
Pop(&Optr, &e);
}
else
break; // 其他情况（ + - * / ^ ( ）退出，
}
//最后将 ! 入栈
Push(Optr, *exp);
exp++;
break;
default:
while (*exp > '0' && *exp < '9') //循环判断是否为数字字符，如果是则保存到postexp，循环判断是因为可能是多位数字
{
postexp[i++] = *exp;
exp++;
}
//以#分隔各个数字字符
postexp[i++] = '#';
}
}
while (!StackEmpty(&Optr)) //扫描完exp后，操作符栈可能还有操作符，将其存到postexp
{
Pop(&Optr, &e);
postexp[i++] = e;
}
postexp[i] = '/0'; //结束字符串
free(Optr); //销毁栈
}
由此，用栈结构求表达式的值的完整解决方案为：
- 将用户输入的普通表达式，借助调用场算法转换为后缀表达式；
- 由第一步得到的后缀表达式，计算出它的值。
为了方便读者理解整个用栈求表达式的值的过程，本文给大家提供了可直接编译运行的源码（点击栈求表达式的值即可下载）。
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