常用数据结构及复杂度

[h1]常用数据结构的时间复杂度[/h1]

Data Structure

Add

Find

Delete

GetByIndex

 Array (T[])

O(n)

O(n)

O(n)

O(1)

 Linked list (LinkedList<T>)

O(1)

O(n)

O(n)

O(n)

 Resizable array list (List<T>)

O(1)

O(n)

O(n)

O(1)

 Stack (Stack<T>)

O(1)

–

O(1)

–

 Queue (Queue<T>)

O(1)

–

O(1)

–

 Hash table (Dictionary<K,T>)

O(1)

O(1)

O(1)

–

 Tree-based dictionary

 (SortedDictionary<K,T>)

  O(log n)  

  O(log n)  

  O(log n)  

–

 Hash table based set

 (HashSet<T>)

O(1)

O(1)

O(1)

–

 Tree based set

 (SortedSet<T>)

O(log n)

O(log n)

O(log n)

–

[h1]如何选择数据结构[/h1]
Array (T[])

• [list]当元素的数量是固定的，并且需要使用下标时。

[/list]
Linked list (LinkedList<T>)

• [list]当元素需要能够在列表的两端添加时。否则使用 List<T>。

[/list]
Resizable array list (List<T>)

• [list]当元素的数量不是固定的，并且需要使用下标时。

[/list]
Stack (Stack<T>)

• [list]当需要实现 LIFO（Last In First Out）时。

[/list]
Queue (Queue<T>)

• [list]当需要实现 FIFO（First In First Out）时。

[/list]
Hash table (Dictionary<K,T>)

• [list]当需要使用键值对（Key-Value）来快速添加和查找，并且元素没有特定的顺序时。

[/list]
Tree-based dictionary (SortedDictionary<K,T>)

• [list]当需要使用价值对（Key-Value）来快速添加和查找，并且元素根据 Key 来排序时。

[/list]
Hash table based set (HashSet<T>)

• [list]当需要保存一组唯一的值，并且元素没有特定顺序时。

[/list]
Tree based set (SortedSet<T>)

• [list]当需要保存一组唯一的值，并且元素需要排序时。

[/list]
时间复杂度为 O(1)，因此对数组的访问时间是恒定的。也就是说，与数组中包含的元素数量没有直接关系，访问一个元素的时间是相同的。

[b]

1 List<int> powersOf2 = new List<int>();
2
3 powersOf2.Add(1);
4 powersOf2.Add(2);
5
6 powersOf2[1] = 10;
7
8 int sum = powersOf2[1] + powersOf2[2];


List<T> 的渐进运行时（Asymptotic Running Time）复杂度与 Array 是相同的。

[b]LinkedList<T> 类，该类实现了双向链表（doubly-linked list）功能，也就是节点同时持有其左右节点的引用。而对于删除操作，如果使用 Remove(T)，则运算复杂度为 O(n)，其中 n 为链表的长度。而如果使用 Remove(LinkedListNode<T>)， 则运算复杂度为 O(1)。

[b]复杂度为 O(1)。如果容量需要被扩展，则 Push 操作的复杂度变为 O(n)。Pop 操作的复杂度始终为 O(1)。

[b]查询渐进时间降低到 O(log(n))。但理想情况下，我们更希望查询渐进时间为 O(1)。

一种方案是建立一个大数组，范围从 000-00-0000 到 999-99-9999 。

这种方案的缺点是浪费空间。如果我们仅需要存储 1000 个员工的信息，那么仅利用了 0.0001% 的空间。

第二种方案就是用[b]哈希函数（Hash Function）压缩序列。

我们选择使用社保号的后四位作为索引，以减少区间的跨度。这样范围将从 0000 到 9999。

在数学上，将这种从 9 位数转换为 4 位数的方式称为哈希转换（Hashing）。可以将一个数组的索引空间（indexers space）压缩至相应的哈希表（Hash Table）。

在上面的例子中，哈希函数的输入为 9 位数的社保号，输出结果为后 4 位。

H(x) = last four digits of x

上图中也说明在哈希函数计算中常见的一种行为：哈希冲突（Hash Collisions）。即有可能两个社保号的后 4 位均为 0000。

当要添加新元素到 Hashtable 中时，哈希冲突是导致操作被破坏的一个因素。如果没有冲突发生，则元素被成功插入。如果发生了冲突，则需要判断冲突的原因。因此，哈希冲突提高了操作的代价，Hashtable 的设计目标就是要尽可能减低冲突的发生。

处理哈希冲突的方式有两种：避免和解决，即冲突避免机制（Collision Avoidance）和冲突解决机制（Collision Resolution）。

避免哈希冲突的一个方法就是选择合适的哈希函数。哈希函数中的冲突发生的几率与数据的分布有关。例如，如果社保号的后 4 位是随即分布的，则使用后 4 位数字比较合适。但如果后 4 位是以员工的出生年份来分配的，则显然出生年份不是均匀分布的，则选择后 4 位会造成大量的冲突。我们将这种选择合适的哈希函数的方法称为冲突避免机制（Collision Avoidance）。

在处理冲突时，有很多策略可以实施，这些策略称为冲突解决机制（Collision Resolution）。其中一种方法就是将要插入的元素放到另外一个块空间中，因为相同的哈希位置已经被占用。

通常采用的冲突解决策略为开放寻址法（Open Addressing），所有的元素仍然都存放在哈希表内的数组中。

开放寻址法的最简单的一种实现就是线性探查（Linear Probing），步骤如下：

1. 当插入新的元素时，使用哈希函数在哈希表中定位元素位置；
2. 检查哈希表中该位置是否已经存在元素。如果该位置内容为空，则插入并返回，否则转向步骤 3。
3. 如果该位置为 i，则检查 i+1 是否为空，如果已被占用，则检查 i+2，依此类推，直到找到一个内容为空的位置。

现在如果我们要将五个员工的信息插入到哈希表中：

• Alice (333-33-1234)
• Bob (444-44-1234)
• Cal (555-55-1237)
• Danny (000-00-1235)
• Edward (111-00-1235)

则插入后的哈希表可能如下：

元素的插入过程：

• Alice 的社保号被哈希为 1234，因此存放在位置 1234。
• Bob 的社保号被哈希为 1234，但由于位置 1234 处已经存放 Alice 的信息，则检查下一个位置 1235，1235 为空，则 Bob 的信息就被放到 1235。
• Cal 的社保号被哈希为 1237，1237 位置为空，所以 Cal 就放到 1237 处。
• Danny 的社保号被哈希为 1235，1235 已被占用，则检查 1236 位置是否为空，1236 为空，所以 Danny 就被放到 1236。
• Edward 的社保号被哈希为 1235，1235 已被占用，检查1236，也被占用，再检查1237，直到检查到 1238时，该位置为空，于是 Edward 被放到了1238 位置。

线性探查（Linear Probing）方式虽然简单，但并不是解决冲突的最好的策略，因为它会导致同类哈希的聚集（Primary Clustering）。这导致搜索哈希表时，冲突依然存在。例如上面例子中的哈希表，如果我们要访问 Edward 的信息，因为 Edward 的社保号 111-00-1235 哈希为 1235，然而我们在 1235 位置找到的是 Bob，所以再搜索 1236，找到的却是 Danny，以此类推直到找到 Edward。

一种改进的方式为二次探查（Quadratic Probing），即每次检查位置空间的步长为平方倍数。也就是说，如果位置 s 被占用，则首先检查 s + 12 处，然后检查s – 12，s + 22，s – 22，s + 32 依此类推，而不是象线性探查那样以 s + 1，s + 2 … 方式增长。尽管如此，二次探查同样也会导致同类哈希聚集问题（Secondary Clustering）。

.NET 中的 Hashtable 类的实现，要求添加元素时不仅要提供元素（Item），还要为该元素提供一个键（Key）。例如，Key 为员工社保号，Item 为员工信息对象。可以通过 Key 作为索引来查找 Item。

1 Hashtable employees = new Hashtable();
2
3 // Add some values to the Hashtable, indexed by a string key
4 employees.Add(“111-22-3333”, “Scott”);
5 employees.Add(“222-33-4444”, “Sam”);
6 employees.Add(“333-44-55555”, “Jisun”);
7
8 // Access a particular key
9 if (employees.ContainsKey(“111-22-3333”))
10 {
11 string empName = (string)employees[“111-22-3333”];
12 Console.WriteLine(“Employee 111-22-3333’s name is: ” + empName);
13 }
14 else
15 Console.WriteLine(“Employee 111-22-3333 is not in the hash table…”);


Hashtable 类中的哈希函数比前面介绍的社保号的实现要更为复杂。哈希函数必须返回一个序数（Ordinal Value）。对于社保号的例子，通过截取后四位就可以实现。但实际上 Hashtable 类可以接受任意类型的值作为 Key，这都要归功于 GetHashCode 方法，一个定义在 System.Object 中的方法。GetHashCode 的默认实现将返回一个唯一的整数，并且保证在对象的生命周期内保持不变。

Hashtable 类中的哈希函数定义如下：

H(key) = [GetHash(key) + 1 + (((GetHash(key) >> 5) + 1) % (hashsize – 1))] % hashsize

这里的 GetHash(key) 默认是调用 key 的 GetHashCode 方法以获取返回的哈希值。hashsize 指的是哈希表的长度。因为要进行求模，所以最后的结果 H(key) 的范围在 0 至 hashsize – 1 之间。

当在哈希表中添加或获取一个元素时，会发生哈希冲突。前面我们简单地介绍了两种冲突解决策略：

• 线性探查（Linear Probing）
• 二次探查（Quadratic Probing）

在 Hashtable 类中则使用的是一种完全不同的技术，称为二度哈希（rehashing）（有些资料中也将其称为双重哈希（double hashing））。

二度哈希的工作原理如下：

有一个包含一组哈希函数 H1…Hn 的集合。当需要从哈希表中添加或获取元素时，首先使用哈希函数 H1。如果导致冲突，则尝试使用 H2，以此类推，直到 Hn。所有的哈希函数都与 H1 十分相似，不同的是它们选用的乘法因子（multiplicative factor）。

通常，哈希函数 Hk 的定义如下：

Hk(key) = [GetHash(key) + k * (1 + (((GetHash(key) >> 5) + 1) % (hashsize – 1)))] % hashsize

当使用二度哈希时，重要的是在执行了 hashsize 次探查后，哈希表中的每一个位置都有且只有一次被访问到。也就是说，对于给定的 key，对哈希表中的同一位置不会同时使用 Hi 和 Hj。在 Hashtable 类中使用二度哈希公式，其始终保持 (1 + (((GetHash(key) >> 5) + 1) % (hashsize – 1)) 与 hashsize 互为素数（两数互为素数表示两者没有共同的质因子）。

二度哈希使用了 Θ(m2) 种探查序列，而线性探查（Linear Probing）和二次探查（Quadratic Probing）使用了Θ(m) 种探查序列，故二度哈希提供了更好的避免冲突的策略。

Hashtable 类中包含一个私有成员变量 loadFactor，loadFactor 指定了哈希表中元素数量与位置（slot）数量之间的最大比例。例如：如果 loadFactor 等于 0.5，则说明哈希表中只有一半的空间存放了元素值，其余一半都为空。

哈希表的构造函数允许用户指定 loadFactor 值，定义范围为 0.1 到 1.0。然而，不管你提供的值是多少，范围都不会超过 72%。即使你传递的值为 1.0，Hashtable 类的 loadFactor 值还是 0.72。微软认为loadFactor 的最佳值为 0.72，这平衡了速度与空间。因此虽然默认的 loadFactor 为 1.0，但系统内部却自动地将其改变为 0.72。所以，建议你使用缺省值1.0（但实际上是 0.72）。

向 Hashtable 中添加新元素时，需要检查以保证元素与空间大小的比例不会超过最大比例。如果超过了，哈希表空间将被扩充。步骤如下：

• 哈希表的位置空间几乎被翻倍。准确地说，位置空间值从当前的素数值增加到下一个最大的素数值。
• 因为二度哈希时，哈希表中的所有元素值将依赖于哈希表的位置空间值，所以表中所有值也需要重新二度哈希。

由此看出，对哈希表的扩充将是以性能损耗为代价。因此，我们应该预先估计哈希表中最有可能容纳的元素数量，在初始化哈希表时给予合适的值进行构造，以避免不必要的扩充。

Hashtable 类是一个类型松耦合的数据结构，开发人员可以指定任意的类型作为 Key 或 Item。当 .NET 引入泛型支持后，类型安全的 Dictionary<K,T> 类出现。Dictionary<K,T> 使用强类型来限制 Key 和 Item，当创建 Dictionary<K,T> 实例时，必须指定 Key 和 Item 的类型。

Dictionary<keyType, valueType> variableName = new Dictionary<keyType, valueType>();

如果继续使用上面描述的社保号和员工的示例，我们可以创建一个 Dictionary<K,T> 的实例：

Dictionary<int, Employee> employeeData = new Dictionary<int, Employee>();

这样我们就可以添加和删除员工信息了。

1 // Add some employees
2 employeeData.Add(455110189) = new Employee(“Scott Mitchell”);
3 employeeData.Add(455110191) = new Employee(“Jisun Lee”);
4
5 // See if employee with SSN 123-45-6789 works here
6 if (employeeData.ContainsKey(123456789))

Dictionary<K,T> 与 Hashtable 的不同之处还不止一处。除了支持强类型外，Dictionary<K,T> 还采用了不同的冲突解决策略（Collision Resolution Strategy），这种技术称为[b]链接技术（chaining）。

前面使用的探查技术（probing），如果发生冲突，则将尝试列表中的下一个位置。如果使用二度哈希（rehashing），则将导致所有的哈希被重新计算。而链接技术（chaining）将采用额外的数据结构来处理冲突。Dictionary<K,T> 中的每个位置（slot）都映射到了一个链表。当冲突发生时，冲突的元素将被添加到桶（bucket）列表中。

下面的示意图中描述了 Dictionary<K,T> 中的每个桶（bucket）都包含了一个链表以存储相同哈希的元素。

上图中，该 Dictionary 包含了 8 个桶，也就是自顶向下的黄色背景的位置。一定数量的 Employee 对象已经被添加至 Dictionary 中。如果一个新的 Employee 要被添加至 Dictionary 中，将会被添加至其 Key 的哈希所对应的桶中。如果在相同位置已经有一个 Employee 存在了，则将会将新元素添加到列表的前面。

向 Dictionary 中添加元素的操作涉及到哈希计算和链表操作，但其仍为常量，渐进时间为 O(1)。

对 Dictionary 进行查询和删除操作时，其平均时间取决于 Dictionary 中元素的数量和桶（bucket）的数量。具体的说就是运行时间为 O(n/m)，这里 n 为元素的总数量，m 是桶的数量。但 Dictionary 几乎总是被实现为 n = O(m)，也就是说，元素的总数绝不会超过桶的总数，所以 O(n/m) 也变成了常量 O(1)。

参考资料

• An Extensive Examination of Data Structures Using C# 2.0 : Part 1: An Introduction to Data Structures
• An Extensive Examination of Data Structures Using C# 2.0 : Part 2: The Queue, Stack, and Hashtable
• 考察数据结构——第一部分：数据结构简介[译]
• 考察数据结构——第二部分：队列、堆栈和哈希表[译]

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