数字角频率的理解

与模拟角频率的联系

数字角频率 /(/omega_0/) 是描述离散时间信号的物理量，如

/[cos(/omega_0 t)
/]

相对应的，模拟角频率/(/Omega/)是描述连续时间信号的物理量，如

/[cos(/Omega_0 t)
/]

一般我们将离散与连续联系起来讲，即认为离散信号是连续信号的采样序列。

数字角频率 /(/omega_0/) 和模拟角频率 /(/Omega_0/) 的关系

/[/omega_0=/Omega_0 /times T_0=/Omega_0 / F_T
/]

/(T_0/)是采样周期，/(F_T/)是采样频率。这是一个很重要的关系，以上式子可以用文字描述：
数字角频率是模拟角频率对采样频率的归一化。

为什么有上述关系？
很简单，现有连续时间信号如下

/[x_0(t)=Acos(/Omega_0 t+/phi_0)
/]

以/(T_0/)为周期采样，可采到 /(n/) 点离散周期序列，此时信号(或者说函数) /(f/)的自变量变为 /(n/) ，也就是说连续信号变成了离散信号，公式如下

/[ x_0(t)=f(nT_0)=Acos(/Omega_0 T_0n+/phi_0)
/]

此时，将常数 /(/Omega_0 T_0/) 替换为 /(/omega_0/) ，就有另一种表达方式，

/[ x_1(n)=x_0(t)=x_0(nT_0)=Acos(/omega_0 n+/phi_0)
/]

此时我们说这表示了一个离散信号。

从表达式来看，你可能会说这不还是连续的吗？

确实，上述表达式描绘了一条连续的曲线，然而，不要忘了，我们的自变量变成了 /(n/) 这个采样后的离散序列，因此，我们获得的信号也只有相对应的离散序列。

数字角频率的范围

傅里叶大佬说的，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。而正弦波的周期为/(2/pi/),从极坐标的角度来看就是一个圆。

从欧拉公式的角度来看看，

/[e^{ix} = cosx +isinx
/]

易得，正余弦函数均可使用/(e/)指数表示，因此傅里叶分析还有指数形式，也是比较常用的形式。

注意，由数字角频率和模拟角频率的关系

/[/omega_0=/Omega_0 /times T_0=/Omega_0 / F_T
/]

可见，数字角频率和采样频率是密切相关的。

上面我们提到，一个信号的模拟角频率是由若干圆构成的，想看动态图可以去WiKi

直观的理解，模拟角频率的概念是每秒多少弧度，数字角频率的概念是每个采样点之间多少弧度

数字角频率是模拟角频率经过了采样后的结果，此时有一个重要的概念——混叠。

混叠就是，使用不同的采样频率获得了相同的离散序列。

不妨想想一个场景，一个人在坐摩天轮，摩天轮以固定的频率转动。我们正对着摩天轮进行连续的拍照，拍摄之间隔着固定的时间，或者说是固定的频率（采样频率），可以得到一组相片。可以想象，如果变换摩天轮的频率，再拍照的话，是有可能获得同一组相片的。这就是混叠。

说完混叠，我们再回到数字角频率的问题上来

由上述，数字角频率的概念是每个采样点之间多少弧度，又因为这是在单位圆上进行采样，自然可以知道两个采样点最大的间隔是/(2/pi/)，换一种说法，数字角频率/(3/pi/) 和数字角频率 /(/pi/) 其实是相同的两个采样点，获得的序列也是一样的。

不难得出，数字角频率/(/omega/)具有周期性，周期为/(2/pi/).一般取值范围为 /([0,2/pi]/) 或 /([-/pi ~ /pi]/) .

来个栗子
有离散序列：

/[x_1[n]=e^{j/omega_1n} /quad(0 /leq /omega_1 /leq 2/pi) //
x_2[n]=e^{j/omega_2n} /quad(2/pi k /leq /omega_2 /leq 2/pi(k+1))
/]

如果

/[/omega_2 = /omega_1 + 2/pi k
/]

那么

/[x_2[n]=e^{j/omega_2 n}=e^{j(/omega_1 + 2/pi k)n}=e^{j/omega_1 n}=x_1[n]
/]

高频？低频？

模拟角频率是连续的，自然是数值越大，频率越高。

数字角频率就不一样了，它是具有周期性的。

那么如何界定一个离散信号的高低频呢？

这要涉及一个很重要的定理，奈奎斯特采样定理
简单来讲，获得离散信号时，采样频率必须大于原信号最高频率分量（信号带宽）的2倍。

有如下数学推导

/[/omega_0=/Omega_0 /times T_0=/Omega_0 / F_T
/]

采样频率确定后，最大不混叠模拟角频率频率/(/Omega_0 = 2/pi F_T/2/)，带入上式，得

/[/omega_0=/Omega_0 / F_T = /pi
/]

可得，最高频为/(/pi/)，同理，易知，最低频为0.