全序/偏序关系及应用

偏序关系、全序关系都是公理集合论中的一种二元关系
偏序集合：配备了偏序关系的集合
全序集合：配备了全序关系的集合

偏序：集合内只有部分元素之间在这个关系下是可以比较的
比如：比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系～

全序：集合内任何一对元素在在这个关系下都是相互可比较的
比如：有限长度的序列按字典序是全序的～（最常见的是单词在字典中是全序的）

偏序的定义：
设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。
则称R为A上的偏序关系。

全序的定义：
设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)
a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)