关于卡特兰数


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什么是卡特兰数?

明安图数,又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。以中国蒙古族数学家明安图 (1692-1763)和比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名,其前几项为(从第零项开始) : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, …
卡特兰数的几何意义
关于卡特兰数

 

简单来说,卡特兰数就是一个有规律的数列,在坐标图中可以表示为:从原点(0,0)出发,每次向x轴或者y轴正方向移动1个单位,直到到达(n,n)点,且在移动过程中不越过第一象限平分线的移动方案总数。

关于卡特兰数

 

卡特兰数公式推导

我们暂且先不考虑移动过程中不越过第一象限平分线这个约束条件,那么从(0,0)点到(n,n)点的过程中,我们总共需要向右移动n步,向上移动n步,一共2n步。我们可以理解为在2n步里面选出n步来向上移动,那么剩下的n步就是向右移动的步数,那么方案总数就是 C 2 n n C_{2n}^n C2nn​。

现在,我们来看看如何解决不越过第一象限平分线这个问题。仔细想想,不越过第一象限平分线也就等价于不触碰到 y = x + 1 y=x+1 y=x+1这条直线。而我们如果把触碰到了直线 y = x + 1 y=x+1 y=x+1的路线的第一个与 y = x + 1 y=x+1 y=x+1的触碰点之后的路线关于直线 y = x + 1 y=x+1 y=x+1对称,并画出对称后的路线
在这里插入图片描述
我们会发现触碰到了直线 y = x + 1 y=x+1 y=x+1的路径的终点都变成了点(n-1,n+1)。也就是说,从(0,0)点到(n,n)点的路线当中触碰了直线 y = x + 1 y=x+1 y=x+1的路线条数与从(0,0)点到(n-1,n+1)点的路线条数的数量是相等的。于是从(0,0)点到(n,n)点的非法路径条数为 C 2 n n + 1 C_{2n}^{n+1} C2nn+1​。

综上所述,从(0,0)点到(n,n)点满足条件的路径数为 C 2 n n C_{2n}^n C2nn​- C 2 n n + 1 C_{2n}^{n+1} C2nn+1​。

通过化简,公式可以简化为:
关于卡特兰数

 

除了这个通项公式之外,卡特兰数还有一个由该通项公式推导而来的递推公式:
关于卡特兰数

 

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