内生变量和外生变量

作者：云落心
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要讨论内生变量还是外生变量，首先要有系统的观点，其次是要有因果的观点。什么是内生变量（endogenous variable）？那就是：在因果模型或者因果系统中，如果一个变量能够被该系统中的其他变量所决定或被影响，那么就称这个变量为内生变量。只有我们在specify一个因果模型（结果y由一系列影响因子X[x1,x2,…,xn]所决定的）时才对一个变量的内外生性进行判断。如果说一个自变量xj被一个或者多个自变量（包括xj自身）所决定或者影响，那么这个变量就称为内生变量。

纯内生变量是说，这个变量可以系统中的其他变量所完全决定，理论上精确无误。那么这个变量其实也就没用了，可以被其他变量所替代掉。纯内生的变量毕竟少，更多的情况是半内生，半内生变量是说这个变量会被系统中的其他变量所影响，但是不会被完全决定，还有一些系统外未考虑的因素。纯内生和半内生都是内生变量，之所以区别是为了理解因果关系上的差异。

什么是外生变量（exogenous variable）？那就是：在因果模型或者因果系统中，如果一个变量独立于系统中其他所有变量，其他变量的变化不对该变量造成影响，那么就称该变量为外生变量。该系统的外生变量可能由系统外的因素所决定。比如说对解释造糖厂的糖产量的研究系统中，天气就是一个外生变量，但是对于一个研究天气变化成因的系统，天气就是一个内生变量。要注意的是外生变量是独立于其他所有变量，所以其对立面是内生变量和半内生变量。另外如果你在模型中添加了会对外生变量产生影响的变量，那么该外生变量就不再是外生变量了。因果上讲，外生变量是是对因变量的独立的决定因素；统计上讲，外生变量线性独立于其他自变量。举一个造糖厂的例子，假定划定的系统内包含糖产量、天气、害虫、燃料价格等变量。我们可以假设糖产量是就是一个完全的内生变量，认为产量被天气、害虫、燃料价格这些因素完全决定。天气就是一个完全的外生变量，因为糖产量、害虫、燃料价格是不会影响到天气的。而害虫就是一个半内生变量，害虫某种程度是受天气影响的，但是不是被天气完全决定，还受到比如说农药、天敌威胁等外部因素的影响。

OLS模型中的解释：在经典的OLS模型中，假设要求no perfect collinearity，含义就是一个变量不能被其他变量所精确线性表示，讲的就是不能弄一个纯内生变量在里面。假设还要求zero conditional mean，error对自变量X的条件期望是0，也就是error和所有的X都线性无关，无相关性。其实就是保证了error是一个外生变量，包含了所有未添加到模型当中但是对因变量又有影响的变量，而且从全样本来看，这些外生变量对因变量的解释力度为0，因为期望为0嘛。在OLS模型中，自变量是可以线性相关的，只要不是perfect collinearity，也就是说这些自变量可以是半内生变量。但是最好的情况是所有的自变量都是外生变量，error也是外生变量。如果自变量之间线性相关了，就会出现多重共线性，不过参数估计依旧还是无偏的，只是参数的方差会变大。