概率论与数理统计

主标题 # 章节标题 ## 目录标题 ### 小节标题 ####

第一章 概率论的基础概念

5. 条件概率

(一) 条件概率

解释：所考虑的是事件A已经发生的条件下事件B发生的概率

定义：设A,B是两个事件，且P(A) > 0 , 称

​ P(B|A) = P(AB) / P(A)

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

P( * | B) 条件概率满足概率定义中的三个条件

1. 非负性：对于每个事件B，有P(B|A) >= 0
2. 规范性：对于必然事件S，有P(S|A) = 1
3. 可列可加性：设B1,B2,…..是两两互不相容的事件，则有

(二) 乘法概率

乘法定律：设P(A) > 0,则有

​ P(AB) = P(B|A) P(A) 称为乘法公式 P(B|A) = P(AB) / P(A)

P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)

(三) 全概率与贝叶斯公式

定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,……Bn为E的一组事件，若

1. BiBj = null , i != j , i, j = 1, 2, …., n
2. B1 and B2 and B3 and …… and Bn = S
   则称B1,B2,…..Bn为样本空间S的一个划分

定理1 ： 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,……,Bn为S的一个划分，且P(Bi) > 0 (i = 1,2,…..,n),则

​ P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2), ….. , P(A|Bn)P(Bn).

称为全概率公式

求某件事情发生的概率不直接求，而是去求发生这件事情的其它所有影响因素

由因索果，把一个事件发生的概率，分解成一系列概率进行求和，每一块的内容，都是由不同的原因或不同途径对这个事件产生的影响

定理2 ： 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,……Bn为S的一个划分，且P(A) > 0,P(Bi) > 0(i = 1,2,….,n)

​ P(Bi| A) = P(A|Bi) P(Bi) / (j = 1 -> n 求和)P(A|Bi)P(Bi) i = 1,2,…., n

求在某种条件下发生的概率不直接求，而是求发生这件事情的全部概率

贝叶斯公式，主要用于观察到一个事件已经发生时，去求导致的事件发生的各种原因

6.独立性

定义：设A，B 是两事件，如果满足等式

		P(AB) = P(A)P(B)

则称事件A，B相互独立，简称A，B独立

若P(A) > 0 P(B) > 0 ，则A，B相互独立 与 A, B互不相容不能同时成立

定理1：设A，B是两事件，且P(A) > 0 .若A，B相互独立，则P(B|A) = P(B) ，反之亦然

定理2：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：

​ A 与 B的逆 A的逆 与 B，A的逆 与 B的逆

定义：设A, B, C是三个事件，如果满足等式

​ P(AB) = P(A) P(B)
​ P(BC) = P(B) P(C)
​ P(AC) = P(A) P(C)
​ P(ABC) = P(A)P(B)P(C)

则称事件A, B, C相互独立

一般，设事件A1,A2, …, An (n >= 2) 个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，。。。，任意n个事件的积事件的概率，都等于个事件概率之积，则称事件A1, A2, …., An相互独立

由定义得推论：

推论1：若事件A1, A2, …. , An 相互独立，则其中任意k(2<= k <= n) 个事件也是相互独立

推论2：若n个事件A1, A2, … , An 相互独立，则将A1, A2, … An中任意多个事件换成它们对立事件，所得到的n个事件仍相互独立

第二章 随机变量及其分布

1. 随机变量

定义： 设随机试验的样本空间S = {e}. X = X(e) 是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X = X(e) 为随机变量

2. 离散型随机变量及其分布律

有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量

设离散型随机变量X的所有可能取得值xk(k = 1, 2, …), X取各个可能值得概率，既时间{X=下k}的概率为：

​ P{X = xk} = pk, k = 1, 2, …..

(0 – 1 ) 分布

P{X = k} = p^ k(1 – p) ^ (1 - k) , k = 0,1 (0 < p < 1)

(0 – 1) 分布也可以写成

X	0	1
pk	1 – p	p

伯努利实验， 二项分布

设试验E只有两种可能： A 以及 -A , 则称E 为伯努利试验， 设P(A) = p (0 < p < 1)， 此时 P()

3. 随机变量的分布函数

4. 连续型随机变量及其概率密度

5. 随机变量的函数分布