【算法学习笔记】04 最近公共祖先LCA

原理

顾名思义，就是求两点的最近公共祖先（自己也是自己的祖先）。
也就是两点在走到根节点的路径上最先遇到的共同的点。

向上标记法

比较贴定义的原始方法。
一点先向 /(root/) 走，走过的点标记一下；然后另一点也往 /(root/) 走，走到的第一个被标记的点为二者的 /(LCA/)。时间复杂度为 /(O(n)/)

倍增法

1. 首先需要记录两个变量

1. /(f(i, j)/)

表示从 /(i/) 开始，向上走 /(2^j/) 步能到达的节点，/(0/leq j/leq logn/)
那么怎么更新？

1. /(j=0/), /(f(i,j)/) 为 /(i/) 的父节点
2. /(j>0/), /(f(i,j)=f(f_(i,j-1),j-1)/)，相当于跳了两个 /(2^{j-1}/)
   这一过程可用 /(bfs/dfs/) 求

2. /(depth(i)/)

表示 /(i/) 的深度

哨兵

/(depth(0)=0/)
如果从 /(i/) 开始跳 /(2^j/) 步会跳过根节点，那么 /(f(i,j)=0/)。

2. 将两点跳到同一层

具体操作如下：
相当于用我们之前处理好的二进制数来拼凑 /(dx = |depth(x)-depth(y)|/)，即从后往前找到第一个满足 /(2^k /leq dx/) 的 /(k/), 然后令 /(dx -= 2^k/), 重复这个找的过程，直至 /(dx=0/)。
找的过程不用算具体值，只需判断是否满足 /(depth(f(x,k))/geq depth(y)/)即可。

3. 让两个点一直往上跳，直到跳到 /(LCA/) 的下一层（儿子那层）

为什么要到下一层？
因为到本层(/(LCA/))时无法判断是否为 /(LCA/)，为避免歧义才到下一层。
跳的过程也是二进制拼凑，从大到小枚举 /(k/), 直至 /(f(a,k)=f(b,k)/), 此时到了点/(x, y/)，在往上一层，也就是他们的父亲就是 /(LCA/)，即 /(LCA=f(x,0)=f(y,0)/)。

板子

先贴一个y总的板子来吓吓我的vsc,明天来自己写一遍

void bfs(int root)
{
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0, depth[root] = 1;
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = root;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (depth[j] > depth[t] + 1)
            {
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q[ ++ tt] = j;
                fa[j][0] = t;
                for (int k = 1; k <= 15; k ++ )
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
            }
        }
    }
}

int lca(int a, int b)
{
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    for (int k = 15; k >= 0; k -- )
        if (depth[fa[a][k]] >= depth[b])
            a = fa[a][k];
    if (a == b) return a;
    for (int k = 15; k >= 0; k -- )
        if (fa[a][k] != fa[b][k])
        {
            a = fa[a][k];
            b = fa[b][k];
        }
    return fa[a][0];
}

离线的做法也没学
还没写题呢，明天一定（