/(P1641 [SCOI2010]/)生成字符串
前置知识
组合数、坐标轴。
题目描述
以/(n/)个/(1/)和/(m/)个/(0/)组成字符串,求出满足条件「在任意的前/(k/)个字符中,/(1/)的个数不能少于/(0/)的个数」的字符串数量。
解题思路
考虑到题目要求的条件「/(1/)的个数不少于/(0/)的个数」可以转化为坐标轴内点的横纵坐标。
举例说明:
第一步:建系。将/(x/)轴设为/(m + n/),y轴设为/(m – n/),方案数则可以表示为从点/((0,0)/)移动到点/((n + m,n – m)/)的折线,每增加一个/(1/)或/(0/)代表当前点向/(x/)轴正半轴移动一单位长度,选择/(1/)代表向y轴正半轴移动一单位长度,选择/(0/)代表向/(y/)轴负半轴移动一单位长度。易得方案总数即为/(C(n+m,n)/)。
因为/(1/)的个数始终不少于/(0/)的个数,所以折线需保持在第一象限。
第二步:排除不合法情况:/(1/)的个数少于/(0/)的个数,即折线在第四象限。
我们考虑将在到达/(y = -1/)以前的部分全部沿/(y = -1/)的直线作对称,如下图所示。
折线的新起点变为/((0,-2)/),总次数还是/(n + m/),但上升次数比下降次数多一次,方案数为/(C(n+m,m-1)/)。
第三步:综合前两步的推导,得出式子:/(Ans = C(n + m,n) – C(n + m,m – 1)/)。
注意事项
/(1/).注意取模。
/(2/).数据范围过大,先预处理逆元,再套用公式求出组合数。
参考程序
#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
#define MAXN 1000005
#define MAXM 1000005
#define MOD 20100403
#define rep(i,a,b) for(re int i = a;i <= b;i ++)
#define drep(i,a,b) for(re int i = a;i >= b;i --)
#define Rep(i,a,b) for(re int i = a;i < b;i ++)
#define Drep(i,a,b) for(re int i = a;i > b;i --)
#define fin(a) freopen(#a".in","r",stdin)
#define fout(a) freopen(#a".out","w",stdout)
using namespace std;
il ll read(){
ll x = 0;
char ch = 0;
while(!isdigit(ch)){
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)){
x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
ch = getchar();
}
return x;
}
il void write(ll x){
if(x > 9){
write(x / 10);
}
putchar(x % 10 + '0');
}
il ll Pow(ll a,ll b){
ll ans = 1;
while(b){
if(b & 1)
ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return ans % MOD;
}
il ll C(ll n,ll m){
if(m > n)
return 0;
if(m > n - m)
m = n - m;
ll s1 = 1,s2 = 1;
Rep(i,0,m){
s1 = s1 * (n - i) % MOD;
s2 = s2 * (i + 1) % MOD;
}
return s1 * Pow(s2,MOD - 2) % MOD;
}
il ll Lucas(int n,int m){
if(!m)
return 1;
return C(n % MOD,m % MOD) * Lucas(n / MOD,m / MOD) % MOD;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
fin(1641);
fout(1641);
#endif
int n = read(),m = read();
write((Lucas(n + m,n) % MOD - Lucas(n + m,m - 1) % MOD + MOD) % MOD);
return 0;
}
原创文章,作者:ItWorker,如若转载,请注明出处:https://blog.ytso.com/288560.html