感知机（perceptron）是二分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别。取+1和-1二值，感知机对应于输入空间（特征空间）中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。感知机是为了求出将线性数据进行线性判别的分离超平面，为此，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求得感知机模型。
1.感知机模型
假设输入空间是
，输出空间是，x和y分属这两个空间，那么由输入空间到输出空间的如下函数：
称为感知机。其中，w和b称为感知机模型参数，叫做权值或权值向量，叫做偏置，w·x表示向量w和x的内积。sign是一个函数：
感知机的几何解释是，线性方程
将特征空间划分为正负两个部分：
这个平面（2维时退化为直线）称为分离超平面。
感知机学习，由训练数据集（实例的特征向量和类别）：
其中，求得感知机模型，即求得模型参数w，b。感知机预测，通过学习得到感知机模型，对于新的输入实例给出其对应的输出类别。
2.感知机学习策略
给定数据集
其中如果存在某个超平面S
能够完全正确地将正负实例点全部分割开来，则称T线性可分，否则称T线性不可分。
感知机学习策略
假定数据集线性可分，我们希望找到一个合理的损失函数。
一个朴素的想法是采用误分类点的总数，但是这样的损失函数不是参数w，b的连续可导函数，不可导自然不能把握函数的变化，也就不易优化（不知道什么时候该终止训练，或终止的时机不是最优的）。
另一个想法是选择所有误分类点到超平面S的总距离。为此，先定义点x0到平面S的距离：
分母是w的L2范数，所谓L2范数，指的是向量各元素的平方和然后求平方根（长度）。这个式子很好理解，回忆中学学过的点到平面的距离：
此处的点到超平面S的距离的几何意义就是上述距离在多维空间的推广。
又因为，如果点i被误分类，一定有
成立，所以我们去掉了绝对值符号，得到误分类点到超平面S的距离公式：
假设所有误分类点构成集合M，那么所有误分类点到超平面S的总距离为
分母作用不大，反正一定是正的，不考虑分母，就得到了感知机学习的损失函数：
3.感知机学习算法
原始形式
感知机学习算法是对以下最优化问题的算法：
感知机学习算法是误分类驱动的，先随机选取一个超平面，然后用梯度下降法不断极小化上述损失函数。损失函数的梯度由：
给出。所谓梯度，是一个向量，指向的是标量场增长最快的方向，长度是最大变化率。所谓标量场，指的是空间中任意一个点的属性都可以用一个标量表示的场（个人理解该标量为函数的输出）。
随机选一个误分类点i，对参数w，b进行更新：
上式是学习率。损失函数的参数加上梯度上升的反方向，于是就梯度下降了。所以，上述迭代可以使损失函数不断减小，直到为0。于是得到了原始形式的感知机学习算法：
由算法的描述我们可以得知，当数据集线性不可分时，会导致算法训练不收敛以及训练过程中会发生震荡的情况！那么感知机学习的收敛性就是值得讨论的！
4.算法的收敛性
记输入向量加进常数1的拓充形式，其最大长度为，记感知机的参数向量，设满足条件的超平面可以将数据集完全正确地分类，定义最小值伽马：
则误分类次数k满足：
这就是感知机学习算法！
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