从“海盗分金”聊聊：利益博弈中的生存法则

本文来自微信公众号：AlphaGirl（ID：alphagirl666），作者：AlphaGirl，原文标题：《海盗分金的真正隐喻》，头图来自：电影《赌神》剧照

11月24日西塞罗发了一篇文章，《中产阶层，为什么最脆弱又最重要》，以一个古老的“群体博弈”问题作为切入点，后面来讲各阶层利益矛盾的事情——海盗分金。

我觉得这个问题的模型本身非常有趣，恰好西塞罗的部分推论不准确，所以我来写一篇文章，从数学的角度，把海盗分金问题里关乎利益博弈的推演和种种隐喻再做个补充和订正。

中间有一段推理比较枯燥、但绝对值得，诸位感兴趣深挖这个问题的读者，欢迎一起跟今天的文章来做做大脑体操。

一、原题

海盗问题是这样的——

有5个海盗，得到100枚金币，他们需要商量出一个分配方案，最后决定了这样一种规则：

5个海盗按年龄排序，由长及幼，最年长的海盗首先提出一种分金方案；

如果这个方案得到超过半数人（不含半数）的同意，则执行；

否则，提出方案的人将要被扔到海里喂鲨鱼，剩下的人继续按此规则分。

背景条件是五个海盗都是聪明的理性人，且要为自己谋取最大利益。

你如果是其中的海盗，该怎么提出方案？

题目介绍完毕，解法本身不难。首先我们把情况逼到“前面三人的方案全都没通过，都被丢到海里喂鲨鱼了”，这里我认为西塞罗的编号方式不好，他是将最年长也就是第一个提方案的海盗编为1号、最后提方案（最年轻）的编为5号。我弃用了他的方式，反而将最后等待提方案的人编为1号，这个编号方式的优越性会在后面体现出来，待会儿细说。

也就是此时，我们简化到，只剩最年轻的1号和次年轻的2号，他们前面的三个老家伙都因为方案不通过被扔海里了。按照年纪顺序，该2号提方案了。

你会发现，接下来无论2号此时提出什么方案，1号只要反对，由于赞成人数没有达标，所以2号会被扔去喂鲨鱼，1号独享100金币。那么为了至少保命，2号是一定不会允许仅留两人的情况发生，所以无论他前一个人3号提出什么方案（哪怕给2号金币为0），2号也都会同意（至少他活下来了），而有了3号2号这两票，当“三人局”的时候，3号的任何方案都一定通过。那么此时作为3号的最优解就是：

给自己100枚，给2号0枚，给1号0枚。

1号尽管反对跳脚好了，2号会帮你投赞成票的，方案一定通过。

我们在这个相对简单的“三人局”里，进一步熟悉了这套规则的优先层级：先活着，再考虑如何金币最大化。而活着的意思则是，保证自己的方案通过，也就是，你要争取到超过多数的赞成票。

现在我们增加一个人，“四人局”，原本五个人中第二老的4号加入了，你代入他的角色来看——3号知道只要你的方案不通过、你4号被喂鲨鱼，他就可以独享100金币，所以你4号的所有方案，他都会反对。

也就是说，4号的任何方案都不需要考虑3号的利益，给他留0枚金币，在剩下的两个人里，他为了拉拢到超过半数的票，两个人都要用利益收买。

那么看看自己的收买成本，1号2号知道如果3人局能成，自己可以活着且获得0枚金币，那么你4号提的方案要优于这个结果，就应该给他俩各自1枚金币（超过0即可），所以4号的最优解是：

给自己98枚，3号0枚，1号、2号各1枚。

进一步扩张到“五人局”，原本五人中最老也是最先要提方案的那个人，我们的5号要开始发言了。他要争取除自己外的两个人赞成，4号一定会反对他的一切提议，（调用了“四人局”开始时的推理）所以他的另外两张赞成票，要从3号、2号、1号中争取。

其中争取成本最低廉的，是3号，因为他之前只有0枚，你只需要给他1枚，他就支持你。

接下来你要在2号1号中，再争取1个人即可。人多了会浪费，无法实现你个人利益的最大化，但是要确保你给的利益比4号的方案好，所以结果是：最后一张赞成票，你需要在1、2两人中，随机挑一个人给2枚金币（比原本的1枚多一点）来获得。

到此为止，“海盗分金”的五人局原题就解完了，在所有人都足够聪明的情况下，故事会在第一个人那里和平结束——最年长的5号老同志说，我自己拿97枚金币；4号你0枚一边凉快去；3号你妥妥有1枚；1号和2号，嘿嘿，你俩猜拳赢的那个人我给2枚，输的那个你尽管投反对票好了，赢的那个和3号，乖乖跟我投票哦。

二、特殊解vs一般解

“海盗分金”的原题我们就这样和平美好地解决了。但是你有想过，为什么这道题目刚刚好只安排了5个海盗么？

能否如直觉般答出这个问题，是考验你数学修养的试金石。

我不绕弯子了，小节标题也提示过了——因为“五人局”，是最后的特殊解。

从“二人局”到“五人局”，人数每增加一个，最初提方案的人最优解都会发生变化，到第五人的时候，还能保证每个人的金币数量不一样，每个人都存在着自己独特的故事逻辑，所以叫特殊解。

注：

• 1号是最年轻的人，按照游戏规则，他是最后才有权提方案的人，如果你看提方案顺序，这个表应该从序号最大的那个人往左看。

• 表中标注“赞成”的，是说他的存活和金币，都是需要建立在投赞成票的基础上的，他们也是本局第一个提案人必须争取的选票，没有标注则不必理会他的赞成反对。

• *代表随机，在所有*者中随机选一人分配2枚金币，另一人分配0枚，而得2枚币的人需要投赞成票。

这个表，西塞罗也差不多画出来了，但这里只是特殊解，再往后，则会有“同质化”的人物出现了，这个问题真正的延展和隐喻，才会浮现出来。

这也是为什么我觉得西塞罗把五人局里的最长者编为1不好，因为这样后续如果我们要扩充到六人局、n人局，总不能给人家编第0号、第-1、-2号吧？要么就是每次新增一人，原本的老幺都要重新改名，所以正确的“编号”方式是最年幼的为1号。

西塞罗是文科生，我们原谅他了。

好，我们来说“一般解”。

上面那张表最后完整的样子应该是（看晕了没关系，可以先看下面讲解文字，再慢慢回来对照）：

西塞罗没有完整展示出来海盗分金的一般情况。而且对于这个问题真正的最优解由来、还有其在现实生活中的映射理解得不够深刻。我来解释一下“最优解”的真正推导过程。

基于特殊情况的最优解“五人局”已经讲明白了，“聪明人海盗”们自然会随着人数增加不断调用前面的逻辑，那么我们就从第六个人开始，看看到底发生了什么。

三、最优方案的由来

从第六人开始，每一次提案，都会剩下若干上一代提案“被战术性放弃”的人，因为被放弃了，他们在上一代方案中只能得到0枚金币，拉拢他们的成本最低，所以新一代优先拉拢他们。这些上一代被放弃的人，这一轮普天同庆各拿1个；

这类人的数量不是笼统的“若干”，而是可以被精确算出来的，就是上一代方案中，保底拿到的赞成票以外的人——还记得么，我们每一代的方案，都要至少保证手里有超过一半的票，但又不会浪费成本，所以“被放弃的人”一定是：n/2向上取整再-1。

而到了这一代，他们全部调转枪口，成了支持新一代提案人的兵。

此时，算上提案人自己，他已经手拿稳稳的n/2票（向上取整）了，距离提案通过，他只需在剩下的人里，挑选1个，一个成本最低的人，就可以得到自己的最优解了。

这个人是谁呢？优先从上一轮只拿到1枚币的人里选，随机选一个，给他*2，剩下的倒霉蛋被“随机地”放弃，给了*0枚。前面的表注里也写了，*代表随机性，选到了谁，全凭提案人乐意。

此时提案人的最优解已经达成，剩余的人则是板上钉钉，不会被任何讨好，只有0。

所以你明白之后每一轮最优方案的基本制定逻辑了吧：

• 总是先团结那些拉拢成本低的人；

• 他们人数庞大到，仅比上一轮的一半人数少1人；

• 再在剩下拉拢成本次低的人里，随机选一个你的幸运儿；

• 其他人绝不浪费资源，一毛不拔。

四、残酷推论

“海盗分金”是一个数学问题，世界当然不是这么洁癖的，现实有它混沌和不理性的地方在。

比如这个问题的解答，本身就是非常反直觉的——你真的推演出一般解之后会发现，除了拿走绝大多数金币的提案人，剩下所有人的金币情况，只有3种可能性，0枚1枚2枚，不会有超过3枚的。

但依照我们的生活经验，好歹在“终极大boss”之下，还会存在次一级的“贵族豪绅”，他们离大boss很近，然后“中产仕人”“小资雅痞”“艰难劳工”……也许到若干层级后，才会出现完全赤贫的“盲流”。层次远比“提案人”与“012三层”要多。

海盗问题中，阶层少的原因是，因为每一代海盗的极度理性聪明，导致他们彼此知道每一位提案人都不浪费资源去拉拢他们不需要的选票，所以产生了大量的0币赤贫盲流，而这些人，在下一代提案人眼中，则是最优先拉拢的人。

“你被团结的唯一原因，就是团结你的成本最低廉”。

而且你这濒临边缘的生存与点滴利益，还必须建立在“乖乖配合投票”的基础上，代价交换。

你还会注意到，第四代游戏之后，每一次都会存在几个“随机阶层”的人，他们是上一代待遇不那么好的，这一轮也有了被拉拢的可能，但是因为人满半数即可发车，留给他们的名额太有限了，所以产生了“随机性”。

这个随机意味着两个层面的事，其一，低阶层的人，有可能翻身升阶了；其二，这个随机性视乎提案人的私人偏好。在现实里对应着，为了争夺这可怜的升阶机会，若干低阶层的人要努力迎合上层的审美品味，且即便他们使尽浑身解数，依然有很高的概率摔个粉身碎骨，成为被放弃的人。

只不过，他们的“被放弃”，是一种随机的“被放弃”，与此相对的，还有另一种，在新一代提案人上台时，就被“果断放弃”的——那就是在上一代提案中活得太滋润的人。

这还只是“残酷推论”的上半部分，残酷的下半部分是，即便给了你上面的一般解表格，我们其实依然没有看清海盗分金的全貌……

五、从数学到世界

有没有在看完一般解表格之后，想到“解的尽头”，是考验你数学修养的第二块试金石。

你记得我在那张表里，写下了n人局情况下，初始提案人在最优解下获得的金币数量么？

• 5人局，最多得97个；

• 6人局96个……

这个解集不是无限的，而是有人数上限的。当199人的时候，提案人拿0个、只求保命；中间有些人拿0、1、2个。最后这个海盗小社会里，阶层被拉近，大家都差不多的赤贫。这是人数最多的情况。

超过这个数字，还会有一种可怕的情况，就是前面较老的199个人，有优先分配权的，默认不理第1号小幺的死活，眼里压根儿就没有这个人了，他们还是按199的人分金——

这对应了什么现实？就是在资源有限的情况下，祖辈们已经足够勒紧裤腰了、彼此惨烈地厮杀博弈了，资源还是不够分的话，未来就“儿孙自有儿孙福”吧，爷管不了那么多了。（所以《信条》里面会有未来人杀死消耗资源的“古人”，是有可能的）

n的最外层，是资源承载力、能源的极限。在n小于199的不同时期，其实也反映了不同的社会形态。

在中间状态n=100，其实是混战最激烈的。

这应该又违反了一部分人的常识，“难道不应该大家每人一个，开开心心回家吗？”——这是快乐的土拨鼠的解答。

你别忘了，海盗都是极度聪明的理性人。

他们算出，这个时候应该依然遵循一个人拿很多，剩下人争夺一两枚金币。而即便是平均分，也是51个人的瓜分，（49个2枚，2个1枚，49个倒霉0蛋）——这一切是基于选举投票赋予彼此的权力，而大家争夺的动力，就是自己“有可能”会成为那个多数人团中的一个。

但是这时，还记得前面说过的么，但凡出现争夺，最后都会演变成后生代向高阶提案人的献媚，祈求获得那个“随机”名额。

既然谈到了献媚，那么你说，在提案通过后，那些幸存下来但是获得0枚金币的人会有“后续动作”么？他们会不会在满足了实现求生需求之后，也加入非暴力祈求存量金币的献媚队伍呢？

当然，这里说的献媚，只是为了便于大家形象理解，可以不带有道德上的褒贬色彩，是中性的形容，一种理性的、非暴力的存量资源争取方式。这些都是海盗分金故事的后续，分金是数学里的有限游戏，但现实不是，历史浩浩汤汤，还将滚滚向前……

再说一遍，“海盗分金”是一个数学问题，世界当然不是这么洁癖的，现实有它混沌和不理性的地方在。你应该感谢，现实中不是所有人都享有均匀的智力、武力、与运气，以及，“金子”不是一次性出现在同一个地方，才导致你的生活，不会被逼到海盗分金问题这么极端洁癖的角落。

是的，代表稀缺资源的金子不是一次性集中出现，代表暴力竞争的“海盗”，也是交替错落地出现，从而在代际争夺之间，还形成另一股绵长温和的力量——教育与传承。

当然，你最应该感谢的是，你此刻所享有的一切天赋、资源和经验，它们丰富了你的“武力”，才最终让你的人生，不必乖顺的“听从”那个海岛上的唯一法则，你可以活出你的原则。

这才是我今天的文章，最后想和大家说的话。

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