太小测不了？忍一下，测大的就是了

本文来自微信公众号：赛先生（ID：mrscience100），作者：张天蓉，编辑：宁茜、吕浩然，题图来自：unsplash

弦论最重要的发现是所谓的“对偶性”（duality），它说的是：两个看似毫无关系的几何对象（或理论模型），却拥有相同的物理性质。

可以说，即使将来弦论被证明是错的，但许多与数学及科学哲学相关的内容仍然会被留下来， “对偶性”必定是其中之一。

通过对偶关系，可以将看似完全不同的理论联结起来，得到相同的物理学（结论）。这意味着它们产生相同的散射振幅以及其他物理可观测量。本篇以弦论中最为典型的T-对偶为例进行简单的说明。

一、如何描述弦

弦论中如何描述弦？首先我们想想传统物理学中如何描述点粒子。基本粒子的特性包括质量、电荷、色荷、自旋等。不过，在粒子物理的标准模型中，点粒子是没有大小可言的一个点，不可能解释它们为什么有这些属性，通常听到的解释话语是：这些都是基本粒子的内禀属性。

“内禀”二字，将我们远远地挡在粒子的内部之外，这也正符合点粒子模型，因为一个“点”是没有“内部”可言的。没有内部结构，当然就解释不了质量或电荷这些数值从何而来。只能把它们归结为内禀，“禀”字在汉语中的意思是“赐予、赋予”，就是与生俱来、永恒不变的，娘胎里带来的“性质”，自然也不需要解释，它（们）就是这样样子。

到了弦论，情况就不一样了。弦论自诩为比点粒子模型更深一层的物理理论，将解释这些内禀属性当作自己的任务之一。尽管目标尚未达到，但毕竟有这种意愿。

这是一个美妙的目标和愿望。例如，基本粒子为什么有各种不同的质量m？根据爱因斯坦相对论中的质能关系，质量m也就对应内部能量E。那我们来看，弦论中如何描述弦？又如何从弦的属性，来得到其内部的能量属性？

图1：开弦和闭弦

弦可以是闭的，也可以是开的。闭弦是一个圈，开弦是一根有两个端点的线，见图1。无论开弦闭弦，都可以规定一定的方向。弦论不止一种，有的弦论用不同方向的弦，代表不同的“荷”；也有的认为开弦的端点可以视为带荷的粒子：例如，一端可以是带负荷的电子，另一端可以是带相反电荷的正电子。第二次弦论革命后，威滕（Edward Witten，1951- ）提出M理论（M theory），用对偶性将5种不同的弦论统一在一个共同的10维（9维空间+1维时间）的框架里。

所有的弦论都包括闭弦，因为一般认为：只有闭弦的振动才产生引力子，开弦产生其它粒子。开弦或闭弦在10维时空中的运动，可以分解为其质心的运动以及弦本身绕质心的振动两部分。我们更感兴趣弦绕质心振动的部分。

假设一根“弦”，长度为L，质量为m，如图1中最右边的两个图所示。弦可以被看作是N个部分由N-1个弹簧连接起来的长度为L的一串谐振子 ，或者说，类似于一个L长且有弹性的橡皮绳（圈）。绳子的每个小部分是一个小小的谐振子，小振子的振动用相对位置变量σ和时间变量t描述。对开弦而言，σ的变化范围从0到p；而对闭弦，范围从0到2p，如图1右图所示。

弦论学家认为，弦的质量m便来源于所有这些小振子的振动能量相加。显而易见，总能量E（或质量）与弦的长度L有关，也与橡皮绳或某种材料的弹性系数（张力）有关。弦长L应该是个很小的数值，属于普朗克尺度（Planck scale，10^-35米）范围，但这点并不妨碍我们建立模型。

根据以上模型，一定长度的弦应该有一个最小质量，即所有谐振子都处于基态时候的总能量。人们惊奇地发现，为了保证光子的零静止质量，弦论只能容许空间是一定的维度。计算得到，对最早的玻色弦论（Bosonic string theory），空间维度只能是25。对后来的超弦论（Superstring Theory），空间维度只能是9。这就是弦论中10维时空的来由。为什么是25和9 ？我们将这个问题的详细解释，留待下一篇介绍。

二、闭弦的T对偶

现在，我们利用图1对闭弦的描述方式，介绍T对偶。

T-对偶又被称作“靶空间”对偶（target space duality），是关于不同空间之间的对偶。如上一篇所介绍的，我们忽略无关紧要的细节，将弦论的空间分成普通3维空间x和额外维卷曲空间y，将环面紧致部分用y方向的圆圈R表示。也就是说，将弦论的9维宇宙简单画成一个花园中的水管，如下图所示。

图2：未绕圈闭弦（a）和绕圈的闭弦（b）

从卷曲空间的角度看，闭弦有两种不同形态：缠绕数w为0或不为0，分别如图2（a）和（b）所示。当闭弦不缠绕额外维空间时，其质心作自由运动，如同花园里一个小飞虫，可以在水管方向运动，在绕水管的方向运动，或者在两个方向之间运动。

因此，动量p可以是朝向3维空间方向，也可能是额外维方向，或者是两者的组合，见图2a。因为额外维度半径R小而卷曲，p_y是量子化的：该闭弦在y方向（额外空间）的能量E_y ∼ n/R。（注：这儿只是为了定性说明能量与R的关系，所以使用“∼”符号，表示不是完全相等。）

有意思的现象发生于闭弦缠绕额外空间维y时（图2b），这时候多了一个整数w，代表闭弦在R空间缠绕的圈数。

缠绕闭弦除了在R方向（y）具有能量E_y ∼ n/R之外，在x方向可以作整体滑动，这部分能量的最小值正比于弦的长度L，弦越长，最小能量越大，因为这条弦包含的“东西”更多。由于圆周长正比于半径，所以缠绕弦的极小质量正比于绕数与半径R的乘积：E_x ∼wR。

因此，缠绕的闭弦总能量（也就是总质量）来源于E_x和E_y两套不同的能谱，粗略而言，前者以R为能级间隔，后者以1/R为能级间隔。R增大，E_x的能级间隔增大，但E_y的能级间隔减小；R减小时，情况则反过来。

图3：缠绕闭弦的总能谱

然而，物理测量方法并不能判别实验所得数据来自于哪套能谱，因为两者如同图三右侧显示，是叠加在一起的（红蓝叠加）。测量上，也只能通过测量散射振幅来得到总谱中各个能级之间的跃迁情况。如图3所示，总能量谱等于将两套能量谱（间隔为R的，和间隔为1/R的）加到一起得到的结果。

换言之，如果有两个不同的弦论系统，一个认定卷曲维的尺寸比较小：R1=a；另一个的卷曲维尺寸R2=1/a，便会比较大，见图4。但是，从以上的分析可知，这两个几何尺度不同的系统，总能量谱却是一样的。因此，它们将表现出完全相同的物理性质。这就是所谓的“闭弦理论中的T对偶性”。

这是一个非常奇怪而有趣的对偶特性 ，在具体深入解释之前，首先需要弄明白以上所述的额外维半径R的单位是什么。

图4：闭弦的两个T对偶系统

这儿的R是以普朗克长度l_p为单位，也就是说，R=1=1/R意味着额外维的大小是lp。这时候两个T对偶系统是一样的。当R=10时，1/R=0.1，这两个系统的物理性质也是一样的（因为总能谱一样），对R的其它数值也是如此。于是，弦论得出一个非常令人惊讶的结论：不论卷曲世界是“粗”还是“细”，它们是物理等效的。

三、卡拉比-丘流形的镜像对称

图4中是T对偶的最简单情形，很容易推广到6维平坦环面，也就是圆的乘积，只需要将R用多个Ri代替即可。六维的Ri环面与六维的1/Ri环面，几何尺寸完全不同，但它们从物理观点却是无法区分的。

我们曾经介绍过卡拉比-丘流形（ Calabi-Yau manifold），它很复杂，但它是6维额外卷曲空间最符合实际物理情况的候选者。钱德拉（Philip Candelas，1951- ）等人在上世纪90年代发现了卡拉比-丘流形中的“镜像对称”（mirror symmetry）流形，并将其用于枚举几何，计算卡丘流形上有理曲线的数目，从而启发数学家解决了一些长期的难题。

弦论学者们也证明了：卡拉比-丘流形的镜对称就是T对偶性。卡拉比-丘流形的镜像对称，并不是通常意义上所说的“镜中之像”那种反演对称，而是指卡拉比-丘流形之间的一种特殊关系，这是一种很奇怪的“镜对称”，互为“镜伴”的两个流形几何上差别很大，拓扑形态也很不同。然而，它们遵循T对偶性，在物理上却是不可区分的。

之后，丘成桐（Shing-tung Yau，1949-）等三位数学家发表了SYZ论文（SYZ以三位姓氏的首写字母命名），为“镜对称”提供了一个比较简单直观的几何图像。他们认为，卡拉比-丘流形基本上可以分成两个三维的部分，彼此以类似笛卡儿乘积（Cartesian product）的方式纠缠在一起。其中一个空间是三维环面，如果你将这个空间分离出来，并将它“倒转”后（将半径r变成半径1/r）再重组回去，就可以得到原来卡拉比-丘流形的镜流形。

四、再回到简单T对偶

仔细琢磨一下，以上介绍的闭弦T对偶性似乎有不少毛病。比如说，当我们将额外维的半径从R变成1/R，在物理上却没有区别。这个说法乍一听不可理解。读者可能会问：这个额外维世界到底是多大？是R还是1/R？它是客观真实存在的吗？难道就没有一个办法准确地测量它？

在 “传统”几何学中，半径为R的圆与半径为1/R的圆是绝对大小不同的两个几何实体，在广义相对论的弯曲空间中，它们也应该是对应于两个物理规律不同的世界。然而在弦论中，它们却奇怪地互为对偶，反映同样的物理规律，这难道不令人困惑吗？

不过，弦论专家并未因困惑而止步于此，反而认为这正表现了“弦”模型相对于“点”模型的魅力所在。实际上，和我们经常听到奇妙量子现象时的反应一样，困惑是由我们的经典思维方式产生的。

下面对此稍微解释一下。

因为R所用的单位是普朗克长度l_p，大约等于1.6162×10^-35米。所以，如果R=100，就是100l_p，大约是10^-33米数量级。尽管仍然很小，却是普朗克长度的100倍。而另外一个对偶的系统之尺度R=0.01，这个小宇宙比普朗克长度还要小两个数量级。在这种尺度，粒子物理的“点”模型碰到了难以克服的困难：广义相对论与量子力学之间的矛盾整个显露出来了。连续光滑的黎曼几何（Riemannian geometry）已经不能使用，时空中不停地发生着灾难性的小尺度的量子涨落，基于黎曼几何的广义相对论对此无能为力。

我们在本文开始时说到了测量的问题。读者也会说：是否可以对“额外维半径R”进行测量来验证它的大小呢？说到测量，这也是“点粒子”模型的短板。因为要测量一个长度，需要一个比这个长度更小的“探针”。点模型中认为尺度为0的“点”是最基本的元素，那就是意味着，可以用点粒子作为探针来分解和测量任意小的空间。但实际上又不可能做到，因为量子力学的不确定性原理限制了它。如此一来，使得点模型从理论上就不能自圆其说。

弦论的说法就聪明多了。因为，“弦”这个基本元素不是一个点，而是一段具有伸展性的“弦”，它具有可与普朗克尺度相比较的长度。弦作为最基本的元素，也能当探针使用。但遗憾的是，它只能测量比它大的东西，普朗克长度以下的空间结构性质，弦是探测不到的，也很难去测量那么小的长度。

所以，弦的延伸本性使我们不可能在弦论中探测普朗克长度以下的现象，弦论对普朗克尺度下的 “量子涨落”、黎曼几何灾难等，都因为“探测不了”而可以“视而不见”。从量子物理的观念，只有可以探寻和测量的事物才是存在的。从而在弦论看来，普朗克长度以下的现象可以说是不存在的。

虽然不能直接测量，但弦论又发现了美妙的T对偶性，它将半径小于普朗克长度以下的空间对应到一个半径大于普朗克长度的空间。既然它们具有同样的物理属性，探索大的不也就等于探索小的吗？因此，小的就不用测量了！

读到这儿，你对弦论中的对偶性可能产生了一些好奇吧。且听下回继续分解。

本文来自微信公众号：赛先生（ID：mrscience100），作者：张天蓉