线性代数学习笔记

目录

1. 行列式
   1.1 二阶和三阶行列式
   1.2 /(n/) 阶行列式
   1.3 行列式的性质
   1.4 行列式按行 (列) 展开
2. 矩阵
   2.1 线性方程组和矩阵
   2.2 矩阵的运算
   2.3 逆矩阵
   2.4 克莱姆法则
   2.5 矩阵的初等变换
   2.6 高斯消元
   （学一点更一点qwq）

1.行列式

1.1 二阶和三阶行列式

对于一个二元一次方程组：

/[/begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 //
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 //
/end{cases}
/]

当其有解时，解为

/[x_1= /frac{b_1 /,a_{22}-a_{12}/,b_2}{a_{11}/,a_{22}-a_{12}/,a_{21}} /qquad
x_2= /frac{b_2/,a_{11}-a_{21}/,b_1}{a_{11}/,a_{22}-a_{12}/,a_{21}}
/]

注意到分母是由等号左侧 4 个系数构成，我们把这四个数排成 2 行 2 列的形式：

/[a_{11} /quad a_{12} //
a_{21} /quad a_{22}
/]

表示式 /(a_{11} /, a_{22}-a_{12} /, a_{21}/) 称为上面形式所确定的二阶行列式，记作

/[/left | /begin{array}{cc}
a_{11}&a_{12} //
a_{21} & a_{22}
/end{array} /right |
/]

数 /(a_{ij}/) 表示行列式内第 /(i/) 行第 /(j/) 列的元。
所以二阶行列式便是 /(a_{11}/,a_{22} – a_{12}/,a_{21}/)

三阶行列式定义类似
对于一个 9 个数排成 3 行 3 列的形式，记作

/[/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}//
a_{31} & a_{32} & a_{33}
/end{array} /right | //
/]

/(=a_{11}/,a_{22}/,a_{33}+a_{12}/,a_{23}/,a_{31}+a_{13}/,a_{21}/,a_{32}-a_{13}/,a_{22}/,a_{31}-a_{12}/,a_{21}/,a_{33}-a_{11}/,a_{23}/,a_{32}/)
上述表明：三阶行列式含 6 项，每项均为不同行不同列的 3 个元素乘积再冠以正负号。
是不是非常简单？

1.2 /(n/) 阶行列式

回到 3 阶行列式上
/(
/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}//
a_{31} & a_{32} & a_{33}
/end{array} /right | //
/)
/(=a_{11}/,a_{22}/,a_{33}+a_{12}/,a_{23}/,a_{31}+a_{13}/,a_{21}/,a_{32}-a_{13}/,a_{22}/,a_{31}-a_{12}/,a_{21}/,a_{33}-a_{11}/,a_{23}/,a_{32}/)
很容易看出，该式右边的每一项都是三个数的乘积，且这三个数都位于不同的行，不同的列。所以我们可以把每一项写成 /(a_{1p_1}/,a_{2p_2}/,a_{3p_3}/) 的形式。可以发现，这一项每个元素的行标都是 /(123/) ，列标都是 /(p_1p_2p_3/) ，即为 /(1,2,3/) 的排列 ，这种排列的种数 /(=P_3=6/)，对应该式共有 /(6/) 项。注意到每一项的正负性，我们发现，当列标排列是偶排列时，此项带正号，为奇排列时，带负号。又因为奇排列偶排列是以排列的逆序数为标准的，所以我们便可推出：
令 /(k=/) 该项排列的逆序数
/(
/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}//
a_{31} & a_{32} & a_{33}
/end{array} /right | //
/) /(=/sum_{i=1}^{P_3} (-1)^k/,a_{1p_1}/,a_{2p_2}/,a_{3p_3}/)
推广到一般形式：
令 /(k=/) 该项排列的逆序数
对于行列式
/(D=
/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}& … & a_{1n}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}&… & a_{2n}//
~~&&……//
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}
/end{array} /right | //
=/sum_{i=1}^{P_n} (-1)^k/,a_{1p_1}/,a_{2p_2}/,…/,a_{np_n}/)
记作 /(/text{det}(a_{ij})/)。

/(n/) 阶行列式从 /(a_{11}/) 到 /(a_{nn}/) 的连线称作主对角线。
主对角线以上（下）均为 /(0/) 的行列式称为下（上）三角行列式，主对角线上下均为 /(0/) 的行列式称作对角行列式。
这 /(2/) 种特殊的行列式 /(D，D´/) 均等于主对角线上各元素之积。

1.3 行列式的性质

记
/(D=
/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}& … & a_{1n}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}&… & a_{2n}//
~~&&……//
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nn}
/end{array} /right |/)

/(D´=
/left | /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{21} & a_{31}& … & a_{n1}//
a_{12} & a_{22} & a_{32}&… & a_{n2}//
~~&&……//
a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} &…& a_{nn}
/end{array} /right |/)

称行列式 /(D´/) 称为 /(D/) 的转置行列式。
性质 /(1/)：/(/,/)行列式与它的转置行列式相等。
性质 /(2/)：/(/,/)对换行列式的两行（列），行列式变号。
记 /(r_i , c_i/) 为行列式的第 /(i/) 行，第 /(i/) 列，则对换第 /(i,j/) 行记作 /(r_i↔r_j/)，对换第 /(i,j/) 列记作 /(c_i↔c_j/)。
推论：如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式等于 /(0/)。
性质 /(3/)：/(/,/)行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
第 /(i/) 行（列）乘 /(k/),记作 /(r_i×k/)（或 /(c_i×k/)）。
推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。
性质 /(4/)：/(/,/)行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 /(0/)。
性质 /(5/)：/(/,/)行列式的某行等于两数之和，等于这一行分开后的两个行列式之和。
性质 /(6/)：/(/,/)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变。

所以对于计算行列式的题，我们可以通过上述性质将需计算的行列式化为上（下）三角行列式，再行计算。

1.4 行列式按行（列）展开

对于一个高次的多项式，我们更喜欢计算低次的多项式。
同理，对于一个高阶的行列式，我们更喜欢计算低阶的行列式。
所以我们引入余子式和代数余子式的概念，来方便我们计算。

在 /(n/) 阶行列式中，把 /((i,j)/) 元 /(a_{ij}/) 所在的行 /(i/) 和列 /(j/) 划去后，所剩下的 /(n-1/) 阶行列式叫做 (i,j) 元 /(a_{ij}/) 的余子式，记作 /(M_{ij}/)。
记 /(A_{ij}=(-1)^{i+j}/,M_{ij}/)，
/(A_{ij}/) 叫做 /((i,j)/) 元 /(a_{ij}/) 的代数余子式

引理：一个 /(n/) 阶行列式，如果其中第 /(i/) 行所有元素除 /((i,j)/) 元 /(a_{ij}/) 外均为 /(0/) ,那么此行列式等于 /(a_{ij}/) 与它的代数余子式的乘积
即：

/[D=a_{ij}/,A{ij}=(-1)^{i+j}/,a_{ij}/,M_{ij}
/]

定理 /(2/)：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式成绩之和
即：

/[D=/sum^{n}_{k=1}a_{ik}/,A_{ik}=/sum^{n}_{k=1}a_{kj}/,A_{kj}/,/, (i,j∈/{k|1≤k≤n,k∈
/mathbb{N}^+/})
/]

定理 /(2/) 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 /(0/)。
定理 /(2/) 叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式的性质可以简化行列式的计算。
将定理 /(2/) 与其推论结合，便可得到代数余子式的重要性质：

/[/sum_{k=1}^{n}a_{ki}/,A_{kj}=/left/{

/begin{aligned}

D,/ i=j//

0,/ i≠j

/end{aligned}

/right.

/]

或

/[/sum_{k=1}^{n}a_{ik}/,A_{jk}=/left/{

/begin{aligned}

D,/ i=j//

0,/ i≠j

/end{aligned}

/right.
/]

可以用以上性质解部分复杂题。

2.矩阵

2.1 线性方程组和矩阵

对于 /(m/) 个未知数 /(n/) 个方程的方程组：

/[/begin{cases}
a_{11}/,x_1+a_{12}/,x_2+/,···+/,a_{1m}/,x_n=b_1 //
a_{21}/,x_1+a_{22}/,x_2+/,···+/,a_{2m}/,x_n=b_2 //
/qquad/qquad/quad/quad ···········//
a_{n1}/,x_1+a_{n2}/,x_2+/,···+/,a_{nm}/,x_n=b_n //
/end{cases}
/]

将该方程等号左侧各系数取出，排成 /(n/) 行 /(m/) 列的数表，将此述标称作 /(n/) 行 /(m/) 列矩阵，简称 /(n×m/) 矩阵，记作：

/[/bf A=
/left ( /begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}& … & a_{1m}//
a_{21} & a_{22} & a_{23}&… & a_{2m}//
~~&&……//
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &…& a_{nm}
/end{array} /right )
/]

/(n×m/) 矩阵 /(/bf A/) 也记作 /(/bf A_{n×m}/) 矩阵。
行数与列数都为 /(n/) 的矩阵称为 /(n/) 阶矩阵或 /(n/) 阶方阵，也记作 /(/bf A_n/)。
矩阵的第 /(i/) 行第 /(j/) 列元素记作 /(/bf A_{ij}/) 或 /(a_{ij}/)。所有 /(n×m/) 阶矩阵构成的集合记作 /(
/mathcal{M}_{n /times m}(/R)/) ，特别的，所有 /(n/) 阶矩阵构成的集合记作/(
/mathcal{M}_{n}(/R)/)
只有一行的矩阵称作行矩阵，只有一列的矩阵称作列矩阵。
如果 /(2/) 个矩阵的行数列数相同，则称它们为同型矩阵。
如果 /(2/) 个同型矩阵对应元素相等，即：

/[a_{ij}=b_{ij}/,/,(/forall 1≤ i ≤ n ,1≤j≤m)
/]

那么称矩阵 /(/bf A/) 与矩阵 /(/bf B/) 相等，记作：

/[/bf A =/bf B
/]

元素都为 /(0/) 的矩阵称作零矩阵，记作 /(/bf O/)。注意不同型的零矩阵不同。

2.2 矩阵的运算

• 矩阵加法
  设 /(2/) 个矩阵 /(/bf A,/bf B /in
  /mathcal{M}_{n /times m}(/R)/)

/[(/mathbf{A} /pm /mathbf{B})_{ij} = /mathbf{A}_{ij} /pm /mathbf{B}_{ij}, /forall 1 /leq i /leq n, 1 /leq j /leq m
/]

/[/mathbf{A} /pm /mathbf{B} = /begin{pmatrix}
/mathbf{A}_{11} /pm /mathbf{B}_{11} & /mathbf{A}_{12} /pm /mathbf{B}_{12} & /cdots & /mathbf{A}_{1m} /pm /mathbf{B}_{1m} //
/mathbf{A}_{21} /pm /mathbf{B}_{21} & /mathbf{A}_{22} /pm /mathbf{B}_{22} & /cdots & /mathbf{A}_{2m} /pm /mathbf{B}_{2m} //
/vdots & /vdots & /ddots & /vdots //
/mathbf{A}_{n1} /pm /mathbf{B}_{n1} & /mathbf{A}_{n2} /pm /mathbf{B}_{n2} & /cdots & /mathbf{A}_{nm} /pm /mathbf{B}_{nm} //
/end{pmatrix}
/]

• 数与矩阵相乘
  设矩阵 /(/bf A /in
  /mathcal{M}_{n /times m}(/R),/lambda /in/R/)

/[(/lambda /mathbf{A})_{ij}=/lambda /mathbf{A}_{ij}
/]

/[/lambda/mathbf{A}= /begin{pmatrix}
/lambda/mathbf{A}_{11}& /lambda/mathbf{A}_{12}& /cdots & /lambda/mathbf{A}_{1m} //
/lambda/mathbf{A}_{21}& /lambda/mathbf{A}_{22} & /cdots & /lambda/mathbf{A}_{2m}//
/vdots & /vdots & /ddots & /vdots //
/lambda/mathbf{A}_{n1}& /lambda/mathbf{A}_{n2}& /cdots & /lambda/mathbf{A}_{nm}//
/end{pmatrix}
/]

在努力更了捏