P7535 题解

前言

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比赛时考到了这一题，于是写一篇题解纪念一下。

思路

设 /(dp_{i, j}/) 表示前 /(i/) 张钞票分给两人，两人差尽可能接近 /(j/) 的情况下，获得的总钱数。此时不考虑赌场操作。

显然可以分三种情况讨论：

• 不用第 /(i/) 张钞票：即 /(dp_{i-1, j}/)。
• 把第 /(i/) 张钞票给第一个人：显然为 /(dp_{i-1, |j – a_i|} + a_i/)
  ，其中 /(|x|/) 表示 /(x/) 的绝对值。
• 把第 /(i/) 张钞票给第二个人：同理，是 /(dp_{i-1, j + a_i}/)。

因此，状态转移方程为：

/[dp_{i, j} = /begin{cases}dp_{i-1, j}//dp_{i-1, |j – a_i|} + a_i//dp_{i-1, j + a_i}/end{cases}
/]

重点代码如下。这里加了滚动数组的空间优化。

int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647; 
for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
{
	for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);	
	for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
}

那么，两人平均分到 /(/left/lfloor dp_{n, 0} /div 2/right/rfloor/) 的钱，剩下 /(/Big(/small sum – /left/lfloor dp_{n, 0} /div 2/right/rfloor/Big)/) 的钱去赌场。返回双倍钱，则两人都分得 /(/Big(/small sum – /left/lfloor dp_{n, 0} /div 2/right/rfloor/Big)/) 这些钱。

printf("%d", sum - dp[0] / 2);

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 505, M = 2e5 + 5;
int a[N], dp[M], tdp[M];
int main()
{
	int n, sum = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++) sum += a[i];
	//求最大值，就赋值无穷小。注意 dp[0] = 0。
	for (int i = 1; i <= sum; i++) dp[i] = -2147483647; 
	for (int i = 1; i <= n; i++) //dp[i] 是主动规数组，tdp[i] 是滚动数组。
	{
		for (int j = 0; j <= sum; j++) tdp[j] = max(max(dp[abs(j - a[i])], dp[j + a[i]]) + a[i], dp[j]);	
		for (int j = 0; j <= sum; j++) dp[j] = tdp[j]; //复制进主数组里。
	}
	printf("%d", sum - dp[0] / 2);
	return 0;
}

希望能帮助到大家！
首发：2022-07-17 21:03:57