最小生成树概念(转载)
假设一个国家有一些城市，这些城市可以互相连接起来，假设每两个城市之间的道路有很多条，那么一定存在这样的情况，可以用最少的路程连接各个城市。
以上这个问题就可以归纳为最小生成树问题，用正式的表述方法描述为：给定一个无方向的带权图G=(V, E)，最小生成树为集合T, T是以最小代价连接V中所有顶点所用边E的最小集合。 集合T中的边能够形成一颗树，这是因为每个节点（除了根节点）都能向上找到它的一个父节点。
而Prim算法和Kruskal算法，就分别从点和边下手解决了该问题。
Prim算法
Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中。Prim算法在找当前最近顶点时使用到了贪婪算法。
算法描述：
1. 在一个加权连通图中，顶点集合V，边集合为E
2. 任意选出一个点作为初始顶点,标记为visit,计算所有与之相连接的点的距离，选择距离最短的，标记visit.
3. 重复以下操作，直到所有点都被标记为visit：
在剩下的点钟，计算与已标记visit点距离最小的点，标记visit,证明加入了最小生成树。
下面我们来看一个最小生成树生成的过程：
1 起初，从顶点a开始生成最小生成树
2 选择顶点a后，顶点啊置成visit（涂黑）,计算周围与它连接的点的距离：
3 与之相连的点距离分别为7,6,4，选择C点距离最短，涂黑C，同时将这条边高亮加入最小生成树：
4 计算与a,c相连的点的距离（已经涂黑的点不计算），因为与a相连的已经计算过了，只需要计算与c相连的点，如果一个点与a,c都相连，那么它与a的距离之前已经计算过了，如果它与c的距离更近，则更新距离值，这里计算的是未涂黑的点距离涂黑的点的最近距离，很明显，b和a为7，b和c的距离为6，更新b和已访问的点集距离为6，而f,e和c的距离分别是8,9，所以还是涂黑b,高亮边bc：
5 接下来很明显，d距离b最短，将d涂黑，bd高亮：
6 f距离d为7，距离b为4，更新它的最短距离值是4，所以涂黑f，高亮bf：
7 最后只有e了：
针对如上的图,代码实例如下：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define INF 10000
3 using namespace std;
4 const int N = 6;
5 bool visit[N];
6 int dist[N] = { 0, };
7 int graph[N][N] = { {INF,7,4,INF,INF,INF}, //INF代表两点之间不可达
8 {7,INF,6,2,INF,4},
9 {4,6,INF,INF,9,8},
10 {INF,2,INF,INF,INF,7},
11 {INF,INF,9,INF,INF,1},
12 {INF,4,8,7,1,INF}
13 };
14 int prim(int cur)
15 {
16 int index = cur;
17 int sum = 0;
18 int i = 0;
19 int j = 0;
20 cout << index << " ";
21 memset(visit,false, sizeof(visit));
22 visit[cur] = true;
23 for(i = 0; i < N; i++)
24 dist[i] = graph[cur][i];//初始化，每个与a邻接的点的距离存入dist
25 for(i = 1; i < N; i++)
26 {
27 int minor = INF;
28 for(j = 0; j < N; j++)
29 {
30 if(!visit[j] && dist[j] < minor) //找到未访问的点中，距离当前最小生成树距离最小的点
31 {
32 minor = dist[j];
33 index = j;
34 }
35 }
36 visit[index] = true;
37 cout << index << " ";
38 sum += minor;
39 for(j = 0; j < N; j++)
40 {
41 if(!visit[j] && dist[j]>graph[index][j]) //执行更新，如果点距离当前点的距离更近，就更新dist
42 {
43 dist[j] = graph[index][j];
44 }
45 }
46 }
47 cout << endl;
48 return sum; //返回最小生成树的总路径值
49 }
50 int main()
51 {
52 cout << prim(0) << endl;//从顶点a开始
53 return 0;
54 }
Kruskal算法
Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。
下面还是用一组图示来表现算法的过程：
1 初始情况，一个联通图，定义针对边的数据结构，包括起点，终点，边长度：
typedef struct _node{
int val; //长度
int start; //边的起点
int end; //边的终点
}Node;
2 在算法中首先取出所有的边，将边按照长短排序，然后首先取出最短的边，将a,e放入同一个集合里，在实现中我们使用到了并查集的概念：
3 继续找到第二短的边，将c, d再放入同一个集合里：
4 继续找，找到第三短的边ab，因为a,e已经在一个集合里，再将b加入：
5 继续找，找到b,e，因为b,e已经同属于一个集合，连起来的话就形成环了，所以边be不加入最小生成树：
6 再找，找到bc，因为c,d是一个集合的，a,b,e是一个集合，所以再合并这两个集合：
这样所有的点都归到一个集合里，生成了最小生成树。
根据上图实现的代码如下
1 #include<bits/stdc++.h
2 #define N 7
3 using namespace std;
4 typedef struct _node{
5 int val;
6 int start;
7 int end;
8 }Node;
9 Node V[N];
10 int cmp(const void *a, const void *b)
11 {
12 return (*(Node *)a).val - (*(Node*)b).val;
13 }
14 int edge[N][3] = { { 0, 1, 3 },
15 { 0, 4, 1 },
16 { 1, 2, 5 },
17 { 1, 4, 4 },
18 { 2, 3, 2 },
19 { 2, 4, 6 },
20 { 3, 4, 7}
21 };
22
23 int father[N] = { 0, };
24 int cap[N] = {0,};
25
26 void make_set() //初始化集合，让所有的点都各成一个集合，每个集合都只包含自己
27 {
28 for (int i = 0; i < N; i++)
29 {
30 father[i] = i;
31 cap[i] = 1;
32 }
33 }
34
35 int find_set(int x) //判断一个点属于哪个集合，点如果都有着共同的祖先结点，就可以说他们属于一个集合
36 {
37 if (x != father[x])
38 {
39 father[x] = find_set(father[x]);
40 }
41 return father[x];
42 }
43
44 void Union(int x, int y) //将x,y合并到同一个集合
45 {
46 x = find_set(x);
47 y = find_set(y);
48 if (x == y)
49 return;
50 if (cap[x] < cap[y])
51 father[x] = find_set(y);
52 else
53 {
54 if (cap[x] == cap[y])
55 cap[x]++;
56 father[y] = find_set(x);
57 }
58 }
59
60 int Kruskal(int n)
61 {
62 int sum = 0;
63 make_set();
64 for (int i = 0; i < N; i++)//将边的顺序按从小到大取出来
65 {
66 if (find_set(V[i].start) != find_set(V[i].end)) //如果改变的两个顶点还不在一个集合中，就并到一个集合里，生成树的长度加上这条边的长度
67 {
68 Union(V[i].start, V[i].end); //合并两个顶点到一个集合
69 sum += V[i].val;
70 }
71 }
72 return sum;
73 }
74 int main()
75 {
76 for (int i = 0; i < N; i++) //初始化边的数据，在实际应用中可根据具体情况转换并且读取数据,这边只是测试用例
77 {
78 V[i].start = edge[i][0];
79 V[i].end = edge[i][1];
80 V[i].val = edge[i][2];
81 }
82 qsort(V, N, sizeof(V[0]), cmp);
83 cout << Kruskal(0)<<endl;
84 return 0;
85 }
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