有限元的发展现状与新趋势

一、有限元法基本思想

       有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个简单的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据平衡和变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，Finite Element Method)。

       有限单元方法是迄今为止最为有效的数值计算方法之一，它对科学与工程技术的提供巨大支撑。

二、有限元法的孕育过程及诞生和发展

       在17世纪，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。

       在18世纪，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。另一位数学家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

       在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用位移函数来表达其上的未知函数。

       1915年，数学家伽辽金提出了选择位移函数中形函数的伽辽金法方法被广泛地用于有限元。

       1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用位移函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。

       20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得成功。(Clough教授参与研究。)

       20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。

       1960年，美国加州大学伯克利分校的R.W.Clough教授在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。值得骄傲的是我国南京大学冯康教授在此前后独立地在论文中提出了“有限单元”。

三、有限元法计算方法及软件

       有限元计算方法作为一种技术更多的与FEM软件的发展紧密的结合起来。方法不断更新，优胜劣汰，传承和发展。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法(DirectSolver)与迭代法(Iterative 所谓快速解法)两种。

       常见的有限元软件有：美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC、COSMOS、ELAS、 MSC和STARDYNE，德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS等。

       显式/隐式有限元法：只需对可以简化为对角阵的质量矩阵求逆，没有增量步内迭代收敛问题，可以一直计算下去。隐式计算具有时间步长增量较大、每个荷载步都能控制收敛，避免误差累积、存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模增大而成超线性增长的特点。相对与隐式显式计算具有时间步长很小、误差累积、不存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模基本为线性增长的特点。这种计算方法的代表软件有ABQUS。

       离散单元法：离散单元法也被称为散体单元法，最早是1971年由Cundall提出的一种不连续数值方法模型，这种方法的优点是适用于模拟离散颗粒组合体在准静态或动态条件下的变形过程。离散单元法不是建立在最小势能变分原理上，而是建立在最基本的牛顿第二运动定律上。它以每个刚体的运动方程为基础，建立描述整个破坏过程的显式方程组后，通过动力松弛迭代求解。

       刚体弹簧单元法：刚体弹簧单元法(RigidBodySpringMethod,RBSM)最早由Kawai于1976年提出，当初提出的意图是以较少的自由度来求解结构问题。它把体系分解为一些由均布在接触面上的弹簧系统联系起来的刚性元，刚性元本身不发生弹性变形，因此结构的变形能仅能储存在接触面的弹簧系统中。由于刚体弹簧元单元间的作用力通过单元界面上弹簧传递，可以直接得到界面的作用力，因此在岩土界面分析等领域也有着较好的应用。

       接触判断法：通过单元之间的相互接触判断得到相互之间的作用力，进而形成运动方程。因此，快速而准确的接触算法对有限元方法非常重要。由于由于计算过程中单元往往会发生较大位移，使得原有的块体间的空间拓扑关系发生变化，使接触判断变得更加复杂。

       无网格法：传统有限元需要构造特定的单元网格来形成位置插值函数，是否可以让计算机根据节点信息来“自动”形成位移插值函数？无网格法可以实现。无网格法对函数的要求有：

       ●光滑连续；

       ●影响的节点有限。

       无网格法常用插值方法有：移动最小二乘、核函数与径向基函数。整体方程有配点法、最小二乘法、伽辽金法。伽辽金法是应用最广、最稳定的无网格法之一。

       XFEM：1999年提出，扩展有限元法(XFEM)，在Belytschko等学者努力下XFEM得到长足发展，在ABAQUS的6.10版本软件中得以实现。

四、结构工程领域有限元法的发展趋势

       1.多物理场耦合问题

       近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题。如需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓“流固耦合”的问题。

       2.线性工程问题到非线性分析问题

       线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如土木工程中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现，就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题；

       航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力，也要考虑材料的非线性问题；诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现，仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题，只有采用非线性有限元算法才能解决。

       3.时变结构及连续倒塌问题

       结构不可能天生就存在那里，也不可能凭空消失，所以结构物的建造或则拆除过程，均为动态的，在不同阶段可能表现出不同力学性能，其中存在很多复杂问题。有限元对于此类过程分析，往往根据施工过程，编制时程程序，动态跟踪结构性能变化。

       4.优化问题：

       在有限元中有这几个方面的需求，如边界形状优化、最小质量、等强度、等应变、动力学参数优化等，优化问题的特点是变量多（几十/数百），许多实际的优化算法这样多的变量中稳健性还有待提高。

       5.湍流问题：

       目前已经有一些较好的方法，如有限体积法等，仍需深入，目前湍流问题实际上根本不是算法问题，而是介质的物理模型问题；人们对湍流的认识可能还受到目前科学技术水平的限制。

五、结语

       有限元法不是万能的，关键是其思想，它完美地体现了哲学中局部与整体的关系，要解决整体问题，必须先研究局部问题，局部问题研究清楚后，再研究局部之间作用的关系，然后各个局部在一个统一的坐标尺度下综合，考虑整个系统和外部的关系，最后得到全局的特征。

       有限元方法是我们认识世界的科学工具，但它的哲学含义、方法论含义还远没有为人们所认识。