动物的数学能力究竟如何？

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：皮卡龙妙蛙，原文标题：《动物也识数？它们的数学能力究竟如何？》，头图来自：unsplash

1. “人类语言真正最独特的功能，并不在于能够传达关于人或狮子的信息，而是能够传达关于一些根本不存在的事物的信息。据我们所知，只有智人能够表达从来没有看过，碰过，耳闻过的事物，而且讲得煞有其事。” ——《人类简史》，尤瓦尔·赫拉利

2. “The difference in mind between man and the higher animals, great as it is, certainly is one of degree and not of kind,”——The Descent of Man, Charles Darwin

除了干饭、睡觉、搞对象，动物们还会什么？说话？数数儿？骑自行车？

如果说动物可以数数儿，大家可能会有点诧异，但动物会说话的例子并不少见，比如鹦鹉可以模仿人说出简单句子，“恭喜发财”跟“你大爷的”张口就来；当天敌出现时，猫鼬通过特定组合的叫声来警告同伴得赶紧跑路；深海中传来的，“深海恐惧症患者”的终极噩梦——“鲸鸣（whale song）”，被认为是世界上最复杂的语言系统之一，复杂到甚至有它们自己的语法。研究人员分析得出，每一曲鲸鸣从最基本的单元（unit）开始，组成二级结构短句（phrase），几个短句再组成旋律（theme），多个旋律再组成一首完整的鲸鸣，跟我们说语言相比，类似于字组成句，句组成段，段再组成一整篇文章^[1]。

语言，或者更保守地说，交流能力，并不是人类特有的。

本文开篇的第一句话，作者想表达的是，虽然其他动物也能“唠嗑儿”，但人是唯一具有“抽象思维”的。换句话说，动物说话，几乎必须跟某个切实存在的东西相关，它们也许可以在发现天敌之后警告同伴，但不可能在天敌不存在的时候就发出预警：危险，危险，危险……

事实上，我们日常生活中使用的数字，本质上正是一种抽象的概念。三个苹果，三只大象，三辆汽车，在视觉上是完全不同的东西，但我们可以把这些物品抽象为同一个数字——3，这与物品本身的特性没有任何关系。那么问题来了，认识和利用数字的能力是我们生来就有的吗？动物有没有这种数数儿的本事？

一、聪明的汉斯

关于动物数数儿的故事，要从一匹聪明的马儿说起。

达尔文去世后的几十年，被后人称为“达尔文主义的日食（the eclipse of Darwinism）”。特别是在20世纪初，当时学界虽然已经广泛接受了“演化”这一学说，但几乎没人认同达尔文提出的“自然选择”理论。换句话说，跟太阳那么大个儿的真理在头上，而大家就是视而不见，疯狂提出各种其他可能解释生物演化的理论。其中比较著名的有“定向演化（Orthogenesis）”，说的是生物演化来源于生物的内在动力，推着生物向某个特定的方向发生变化；还有“突变论（Mutationism）”，其思想早在《物种起源》出版前就存在，认为演化就发生在一瞬间，一个突变就可能让某个物种“飞升”，即使科学家在知道基因是遗传物质后，仍是最主要的竞争理论。当然，各种试图挑战“自然选择”的，最后都以失败告终。不过，在当时有个引起公众广泛关注的问题，其本质是关于动物智力的研究。

1900年代初的德国，有一位退休数学老师威廉·冯·奥斯滕（William Von Osten），虽然他在主业上没什么起色，但拾掇动物很有一套，养了一匹名叫汉斯（Hans）的马。可能是职业病的原因，奥斯滕在好吃好喝地把汉斯伺候着的同时，经常教它各种技能。

这一教可了不得，据记载，奥斯滕曾经问他的马：“如果一个月的第8天是星期二，那这一周星期五是第几天？”这个问题，就算是智力正常的人也要花时间想一下，甚至要掰手指头数数；但是这匹马儿明显更聪明一些，很快就用蹄子敲了11下地面；经过4年时间的教学，汉斯竟然学会了加减乘除、日期计算，音阶辨认等“神技”。见识了马儿的特异功能的人给它起了个外号，叫“聪明的汉斯（Kluger Hans，英文Clever Hans）”。

图1. “聪明的汉斯”与它的主人丨来源：Britannica

马固有一死，或死于槽枥，或死于路途，而“聪明的汉斯”的名声漂洋过海，飘到了纽约时报头条上。当时社会上大批的吃瓜群众，其中不乏知名的心理学家、动物学家、驯马师等等，特地去参观研究这匹名马，但都没弄明白这到底是心灵感应、魔术、还是真的碰到了动物界的“智力天花板”。其中有一位比较生物学家、心理学家奥斯卡·冯斯特（Oskar Pfungst），他在一旁观察了很久，总觉得其中有一些地方不太对劲：也许马能给出问题的正确答案是因为得到了某种非常隐晦的暗示，比如不易察觉的“鼻鸣”，或者马主人特定的手势等等。

为了找到问题的答案，他设计了一系列严谨的动物行为实验，对训马者，周边环境，马的穿戴，感官屏蔽（蒙着眼或者堵上耳朵）进行了变量控制。在有对照的算术运算实验中，冯斯特发现：当提问者本人预先知道算术题答案的时候，马能答对大部分的问题；如果提问者自己不知道，马只能答对其中少数几个。他还测试了马的记忆力，先由一个人在马的耳边说一个数字，过一会儿提问者过来询问马这个数是什么，结果马10次里8次都答错了。一系列实验下来，冯斯特得出了结论：无论什么样的数字问题，如果提问者提前知道答案，那马90%的情况下都能答对；如果提前不知道，只有10%情况下能答对，这种情况下大概率是猜出来的。

冯斯特觉得，这个反复验证的结论只有一种可能的解释，那就是马数数儿这件事靠的不是它自己的智力，而是确有某种未被旁人察觉的外界暗示，引导马儿给出正确答案。为了证实这个想法，他堵住了马的耳朵，让提问者尝试用“腹语”来问出数字问题，或者在心里默念这个问题不用嘴说出来。他惊人地发现，在这些情况下汉斯几乎都能给出正确答案。也就是说，马并不依靠某种声音上的暗示，而且暗示也没被隐藏在提出问题的这个过程当中。

如果这个假设成立，冯斯特认为暗示一定存在于马敲蹄子给出回答的过程中。他想办法蒙住了马的眼睛，进行了跟之前一样的测试。这次得到了神奇的结果：马看不到提问者时，就无法给出正确答案；而看得见时，90%的情况下可以给出正确答案。这意味着，在马敲蹄子的过程中，提问者身体上一定存在某种现象，给了马正确答案的提示。最后，他遮住了提问者的脸部，发现在这种情况下马几乎无法给出正确答案。

经过漫长而严谨的实验和细致入微的观察，冯斯特终于得到了让自己满意的结论：几乎每次当主人问出一个问题之后，他自己都会不自觉地向前轻微低头跟弯腰，这个时候马就会得到提示，立刻开始敲蹄子；当敲到正确答案的时候，主人会不自觉地轻微扬一下头，而这时马就会立刻收回蹄子，不再继续敲下去。也就是说，与其说马儿在表演数学计算，不如说它在表演魔术里的“读心术”，非常善于对主人（或其它人）察言观色。

图3 冯斯特设计的数字对照实验结果记录丨来源：Clever Hans, Oskar Pfungst

不过，虽然事情的真相让人有点失望，这匹马确实还是有与众不同的地方，人们对这匹“神驹”的崇拜与憧憬也没有很快破灭，马的主人继续对它进行训练和宣传，让它甚至在黑夜里也能作出与白天一样的反应。后来又训练了两匹马，一个专攻算数，一个专攻阅读。三马组又赚了不少名声。相传汉斯的结局是被征召参战，才结束了自己传奇的一生。

在这个故事中，人们以为马的智力高到可以进行抽象的数字运算，而最终的事实却还是证明马根本无法理解数字的抽象含义，只能靠眼睛看到的现象做出一些身体上的反应。后来，“汉斯效应（the Clever Hans Effect）”或者叫“观察者期望效应”，发展为心理学上的一个重要概念，说的是观察者的预期导致观察行为本身以某种形式无意识地操纵了观察结果，导致得到了错误的解释。心理学家冯斯特与马儿汉斯的故事也成为心理学历史上的一个标志性事件。而另一方面，人们对“动物数数儿”的质疑一直延续到今天，也间接促成了科学界对动物的意识与智力的广泛研究。

二、动物会数数吗？

如果在街上随机问路人“你觉得动物会数数儿吗？”，很可能大家都说不会，因为直觉上对数字的理解能力，是人类的高级智能所特有的，是人类区别于其他动物的特征之一。

其实这种说法并不完全准确。早在1988年，生物行为学家Hank Davis等人发表了一篇长文综述，总结了之前几十年对“动物数数”的研究。他们指出并批评领域内“一词多用”和“多词一用”的乱象导致数字认知概念的混淆和模糊^[2]。他们归纳其实很多动物都可以表现出原始的“数字能力（numerical competence）”，只是缺乏“数字感（sense of number）”。

图4. 数字能力相关概念辨析丨来源：Davis等人1988年发表的综述截图^[2]

比如，当时学界认为一些动物可以分辨一个物体跟两个物体是不一样的东西，但并不能理解哪个更多一些；也不能分辨一堆100个松果与一堆200个松果哪些更多，不能进行模糊的估计。相比于人类“计数（counting）”的能力，这种数字能力，被称为“原始计数（protocounting）”。而在数字能力中，最顶级的一种叫作“数字概念（concept of number）”，具有抽象意义，是可以脱离实体进行计数的。比如人可以凭空计算“树上骑个猴儿，树下一个猴儿，加起来一共俩猴儿”，而动物并不具备这种能力。Hank Davis等人当时认为，对数字大小以及数字抽象意义的理解才是人类作为“高质量哺乳动物”的特征之一。

在研究人员得到了基本概念的共识，归纳出了动物数数能力的极限之后，他们逐渐发现，动物对数字的利用还是挺多姿多样的。

后来的一些研究表明，勤劳的蜜蜂可以数地标的数量，从而估计判断自己到达实验目标（花蜜）应该飞行的距离^[3]；母狮可以通过分辨远处陌生同类的叫声数量，从而确定是自己是要原地发飙整垮它们，还是明哲保身闷声发财^[4]；人面蜘蛛（Nephila clavipes）能大致判断自己今天的网上粘了几个“菜”^[5]；沙蚁（Cataglyphis）甚至像安装了微信计步（其体内有一种叫odometer的器官，蜜蜂也有）跟导航地图，在广袤的沙漠中不会迷失自己行进的方向跟距离，走出多远都能浪子回头^[6]。类似的对数字的应用能力，在过去几十年的研究中，被发现广泛存在于昆虫、爬行动物、两栖动物和鸟类身上。

然而，动物能分辨1跟2的区别，从而决定自己的行为，但是不能判断1跟2的大小，事实真的如此吗？动物对数字理解与应用的极限到底在哪里？

三、与生俱来的数学能力

在2009年的一项研究中，意大利帕多瓦大学动物心理学家Rosa  Rugani等人在实验中观察刚孵化不久的雏鸡：当雏鸡被给予两组不同数目的、已经被它们“铭记”过的物体，它们总是倾向于靠近数目更多的那一组。在另一项实验中，他们把两组物体前面分别放置两组屏幕，然后研究人员在两块屏幕后相互移动物体，让两组物体的各自的总数发生变化；也就是说，雏鸡最初看到了两组物体的初始数目，也看到相互之间移动的物体数目，但看不到最终两组物体的总数。

惊人的是，雏鸡表现出了一种动态的计算能力，从而准确选择出了数目更多的那一侧。而且这种计算并没有经过任何训练，它们似乎先天就有这种计算能力。与“神驹”汉斯不同，这一次实验人员可没有给它们任何可能的提示^[7]。

2011年，京都大学心理学家Sayaka Tsutsumi发现长尾猴也有类似的能力，研究人员当着猴子的面往一个不透明的箱子里放一定数量的面包片，然后分次取走，直到完全取空。虽然猴子看不到箱子里还剩几片面包，但在面包完全取空之前，它们总是会试图接近箱子取食，等完全拿空之后，猴子就对箱子失去了兴趣^[8]。

图5. 会算数儿的雏鸡丨来源：参考资料[7]

这两个研究的共同之处，是雏鸡跟猴子的数字能力，都体现在现实中存在的物体上。类似基于“实物”的动物算术研究，让研究人员有了动力更进一步去探索动物对数字抽象意义的理解。

2015年，Rosa  Rugani发表了另一个研究，他们在一块显示了5个白点的显示屏后面放了食物，反复训练雏鸡去进行识别。然后撤掉这个显示屏，在一左一右放上两个显示2个点的显示屏，研究人员发现小鸡几乎总是去左边的屏后找食物。而相同条件下，如果两个显示屏都显示8个点，小鸡就会去找右边的屏幕。这一结果很奇妙，如果在小鸡的心目中2、5、8这三组白点只是形象不同而没有大小区别的话，2和8在小鸡的心中理应是没有区别的。而在这个实验中，数字“2”跟“左”产生了联系，“8”跟“右”也是一样。

我们人类对数字大小的理解，表现为一条从左到右的直线，大一些的数字总是在小一些的数字的右边。虽然不能草率地说小鸡也知道这个规律，但研究人员还是猜测：鸡对数字大小的理解可能是先天就有的，而且这种理解比我们之前认为的可能还要跟深一点^[9]。

不仅如此，昆虫、鸟类、灵长动物通过一定程度的训练，可以将数字的符号跟数字本身对应起来。比如黑猩猩可以在一堆胡乱摆放的数字符号中按从小到大的顺序依次触摸每一个数字。

事实上，人类的数字的认知能力，也基本上来源于后天的学习和经验积累。迈阿密大学的人类学家Caleb Everett在他的Numbers and the Making of Us: Counting and the Course of Human Cultures（《数字与我们的形成：计数与人类文化进程》）一书中提到，世界上有超过7000多种语言，而在他的田野调查中，有一些稀有而古老的语言系统中缺乏对数字的表达。例如巴西原始部落中的皮拉罕语（Pirahã），只有“一个”或者“几个”这样的词眼，这导致皮拉罕人在处理与“数字”相关的日常活动中遇到了不小的困难，比如没办法把相同数目的两组东西一一对应摆在一起。但皮拉罕人并不比其他人种笨，如果把他们放在一个有成熟计数系统的语言环境中，他们也能学会数数儿，一切都会很正常。这意味着，我们所具有的、至少大部分的数字能力可以被视为是一种后天获得“工具”^[10]。

四、抽象的“0”

人类习得的这种工具，包含很特殊的一部分，也就是对最抽象、最为复杂的“0”的理解。跟其他数字可以代表现实中存在的东西不同，0代表的是“无”，是“不存在”，而在数学上有更复杂的含义。这种抽象的意义甚至让智人小孩儿抓破头皮也摸不着头脑，只有通过后天的一点一点的学习才能逐渐理解这个抽象的数字。当然，这也与人类在长期历史中逐渐理解并赋予0新含义的过程相符合。

当科学家们发现动物们对1、2、3、4好像有自己的见解，便想进一步看看它们有没有欣赏“0”的抽象之美的能力。在2016年的一项猴子研究中，研究人员做了一个简单的实验：在一块显示屏上随机出现0~4个点，间隔1秒后再刷新一下点子的数目，然后让猴子判断前后两次显示的点数是否一致。研究发现，当前后两次显示的点数比较相近，比如3和4，猴子更容易发生误判，认为两次显示的点数一样，但是1和4几乎不会发生误判。意外的是，猴子把“空集（empty set）”跟“1”误判的概率，要大于“空集”跟其他数字误判的概率。这也就意味着，在猴子的概念中，“0”或许并不是一个与数字无关的东西，而是跟“1”离得比较近的一个东西。2018年，来自墨尔本皇家理工大学的Scarlett R. Howard发现蜜蜂也有类似的能力^[11]。

同时，猴子在看到不同的数字时，大脑中前额皮质的不同区域在放电，就像人一样^[9]。类似地，今年6月份发表在《神经科学杂志》（Journal of Neuroscience）上的一篇研究表明，在几乎相同的一个实验中，小嘴乌鸦（Corvus corone）与此前的猴子实验有几乎相同的表现。作者们总结，对“空集”的理解在至少三大类完全不同的动物——哺乳类，节肢动物（昆虫）、鸟类中被独立演化出来，而且这种理解中，都有特定的神经元集合在起作用。^[12]

图6. 能数数儿的乌鸦丨来源：Andreas Nieder^[8]

五、我们仍了解太少

科学精神的本质之一，就是好奇（curiosity），是刨根问底。动物会数数儿吗？动物会思考吗？当你的猫狗在跟镜子里的自己掐架时，他们认识自己吗？动物有思想吗？这些看起来像是六岁的孩子提出来的问题，却经常会花费学界百年的时间才得以一窥答案的轮廓。况且即便在今天，我们探究这些问题的方法，也是基于原始的、简单的行为观察。

我们一方面对动物表现出来的、似乎与高级智能沾点边儿的行为具有浓厚的兴趣，时常对新的发现感到异常兴奋；另一方面又怕哪个动物聪明过头，上演“猩球崛起”，但无法反驳的事实是，太多的动物，它们的行为比我们想象得更加多样，情感比我们想象得更加复杂，而且很多时候让自诩高级的我们根本无法理解。

为什么平时有点社恐的西丛鸦（Aphelocoma californica）会立于树巅，向天哀嚎，自发聚集给不认识的去世同伴办一场长达半小时的庄严葬礼？为什么乌鸦在侥幸逃出魔爪几年之后，还会记恨并攻击曾经把自己打入笼中的捕鸟人？为什么落单的蚂蚁会失去活力，郁郁而终？动物界的最强大脑海豚，究竟还有什么我们不知道的能耐？更终极的问题，我们聪明到能理解动物有多聪明的程度了吗？

图7. 我们足够聪明吗

也许最后的最后，我们还会回到达尔文1871年在《人类的由来》（The Descent of Man）书中里写到的、放在本文开头的第二句话，“尽管人和其他高等动物在思维上有差距，但两者仅有大小之别，绝非黑白之辨。”

参考文献

[1] https://www.science.org/doi/10.1126/science.173.3997.585?url_ver=Z39.88-2003&rfr_id=ori:rid:crossref.org&rfr_dat=cr_pub%20%200pubmed

[2] https://www.cambridge.org/core/journals/behavioral-and-brain-sciences/article/abs/protocounting-as-a-last-resort/7425806CA36B689F47D47B686FB220C5

[3] https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0003347295801634?via%3Dihub

[4] https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0003347284710529

[5] https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10071-014-0801-9

[6] https://www-science-org.pitt.idm.oclc.org/lookup/doi/10.1126/science.1126912

[7] https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspb.2009.0044

[8] https://www.hindawi.com/journals/ijz/2011/806589/

[9] https://www.livescience.com/49633-chicks-count-like-humans.html

[10] https://fivethirtyeight.com/features/why-do-we-count/

[11] https://www.science.org/lookup/doi/10.1126/science.aar4975

[12] https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0960982216302627#mmc1

[13] https://www-jneurosci-org.pitt.idm.oclc.org/content/41/22/4889

[14] https://www.quantamagazine.org/animals-can-count-and-use-zero-how-far-does-their-number-sense-go-20210809/

[15] https://www.livescience.com/61084-can-animals-count.html

注：有些动物经过训练可以学会骑自行车。

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：皮卡龙妙蛙