目录

• 1. 前言
• 2. 详解
  • 2.1 定义+作用
  • 2.2 exgcd 求法
  • 2.3 快速幂求法
  • 2.4 线性递推式
• 3. 总结

1. 前言

本篇文章是作者学习乘法逆元的时候的一些学习笔记。

前置知识：同余式，一些简单的数论符号。

2. 详解

2.1 定义+作用

乘法逆元的定义如下：对于任意 /(a /in N_+/)，若存在 /(a /in N_+/) 使得 /(ax /equiv 1 /pmod p/)，则称 /(a/) 是 /(x/) 在模 /(p/) 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 /(a/) 记作 /(x^{-1}/)。

实际上你会发现这玩意跟实数域上的倒数定义差不多，都是相乘为 1qwq

但是需要注意的是，并不是所有 /(x/) 在模 /(p/) 意义下都有逆元，如果 /(p /mid x/)，那么 /(x/) 在模 /(p/) 意义下是没有逆元的，因为一定有 /(ax /equiv 0 /pmod p/)。

下面若无特殊说明，均认为任意数 /(x/) 在模 /(p/) 意义下有乘法逆元。

乘法逆元的一个很重要的作用就是做有理数域内的取模问题。

如果我们要求 /(/dfrac{a}{b} /bmod p/)，那么根据 /(/dfrac{1}{b}=b^{-1}/)，我们可以将式子变为 /(a /times b^{-1} /bmod p/)，这样就可以通过求出 /(b^{-1}/) 来解决有理数取模问题。

乘法逆元的求法有三种：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。

2.2 exgcd 求法

这个求法的前置知识：扩展欧几里得算法。

如果不知道可以看百度百科或者我写的博客。

对于同余式 /(ax /equiv 1 /pmod p/)，我们可以将该式转变为 /(ax+bp=1,b /in Z/)。

这样就可以通过 exgcd 求出该不定方程的特解，然后就可以求出乘法逆元了。

该方法的使用范围：/(/gcd(x,p)=1/)。

Code：

void exgcd(int a, int b, LL &x, LL &y)
{
    if (b == 0) {x = 1; y = 0; return ;}
    exgcd(b, a % b, x, y);
    LL p = x; x = y; y = p - ((LL)a / b) * y;
}

2.3 快速幂求法

这个求法的前置知识：费马小定理。

描述如下：如果 /(p /in Prime/)，那么 /(a^{p-1} /equiv 1 /pmod p/)。

那么因此我们就可以考虑求逆元的时候对式子做个变形：

/[a /times a^{-1} /times a^{p-1} /equiv 1 /pmod p
/]

/[a /times a^{p-2} /equiv 1 /pmod p
/]

因此 /(a/) 的逆元是 /(a^{p-2}/)。

事实上这玩意你还可以用欧拉定理/扩展欧拉定理来推广，但是复杂度会升至根号级别，不如用第一种方法。

快速幂求法的使用范围：/(p /in Prime/)。

该方法对于确定模数为质数（如 /(998244353/)）的题目比较方便。

Code:

LL ksm(LL fir, LL sec, LL p)
{
    LL ans = 1 % p;
    for (; sec; sec >>= 1, fir = fir * fir % p)
        if (sec & 1) ans = ans * fir % p;
    return ans;
}

2.4 线性递推式

前置知识：无。

这个算法可以 /(O(n)/) 求出 /([1.n]/) 内的所有数的乘法逆元。

首先显然的，/(1^{-1}=1/)。

接下来假设我们已经处理好了所有 /([1,n-1](n>1)/) 范围内的数的乘法逆元，要求 /(n^{-1}/)。

令 /(k=/left/lfloor/dfrac{p}{n}/right/rfloor,j=p /bmod n/)，那么 /(p=kn+j/)。

那么有 /(kn+j /equiv 0 /pmod p/)。

两边同时乘上 /(n^{-1} /times j^{-1}/)，有 /(kj^{-1}+n^{-1} /equiv 0 /pmod p/)。

移项，/(n^{-1} /equiv -kj^{-1} /equiv -/left/lfloor/dfrac{p}{n}/right/rfloor /times (p /bmod n)^{-1}/)。

由于 /(p /bmod n<n/)，那么我们可以知道要求 /(n^{-1}/) 只需要知道所有 /([1,n-1]/) 内数的逆元。

因此原假设成立。

于是我们可以 /(O(n)/) 求出 /([1,n]/) 内的数的逆元。

该算法的使用范围：任意。

注意如果 /(p /mid i/) 时 /(i^{-1}/) 无意义，因此特别注意这种情况。

P3811 【模板】乘法逆元

Code：

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;

3. 总结

• 乘法逆元：对于任意 /(a /in N_+/)，若存在 /(a /in N_+/) 使得 /(ax /equiv 1 /pmod p/)，则称 /(a/) 是 /(x/) 在模 /(p/) 意义下的数论倒数或者是乘法逆元，将 /(a/) 记作 /(x^{-1}/)。
• 三种求法：exgcd 求法，快速幂求法，线性递推式。