sin(a+b) 推导

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求三角函数sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 的推导过程,不要给我拷贝那些乱七八糟的公式,只要知道这个公式的证明过程,有了过程其他的都能依次类推.

首先建立直角坐标系,在直角坐标系xOy中作单位圆O,并作出角a,b,与-b,使角a的开边为Ox,交圆O于点P1,终边交圆O于点P2,角b的始边为OP2,终边交圆O于点P3,角-b的始边为OP1,终边交圆O于点P4.这时P1,P2,P3,P4的坐标分别为：
P1（1,0）
P2(cosa,sina)
P3(cos(a+b),sin(a+b))
P4(cos(-b),sin(-b))
由P1P3=P2P4及两点间距离公式得：
^2表示平方
[cos(a+b)-1]^2+sin^2(a+b)
=[cos(-b)-cosa]^2+[sin(-b)-sina]^2
展开整理得
2-2cos(a+b)
=2-2(cosacosb-sinasinb)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
根据诱导公式sin(π/2-a)=cosa
得sin(a+b)=cos[π/2-(a+b)]=sinacosb+cosasinb

首先上公式：

逆时针（如下图）：
x1=xcos(β)-ysin(β);
y1=ycos(β)+xsin(β);

顺时针（图未给出）：
x1=xcos(β)+ysin(β);
y1=ycos(β)-xsin(β);

其中x，y表示物体相对于旋转点旋转β的角度之前的坐标，x1，y1表示物体旋转β后相对于旋转点的坐标。此公式仅为在下图坐标中的变换公式，坐标系的选取不同可能会有不同的结果，但是推导方式一样，请大家注意。

下面是推导过程：

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕另外一点旋转一定角度后的坐标，例如：A（x，y）绕B（a，b)旋转β度后的位置为C（c，d），则x，y，a，b，β，c，d有如下关系式：

1.设A点旋转前的角度为δ，则旋转(逆时针)到C点后角度为δ+β

2.求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3.求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4.显然dist1=dist2，设dist1=r所以：
　　r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)
　　
5.由三角函数两角和差公式知：
　　sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)
　　cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)
　　
　　所以得出：
c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)
　　d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋转后的坐标c，d只与旋转前的坐标x，y及旋转的角度β有关
从图中可以很容易理解出A点旋转后的C点总是在圆周上运动，圆周的半径为|AB|，利用这点就可以使物体绕圆周运动，即旋转物体。

另外，顺时针旋转可以理解为逆时针一个负角度，根据sin(),cos()的奇偶性，即sin(-β)=-sin(β),cos(-β)=cos(β),可得顺时针旋转的变换公式:

x1=xcos(β)+ysin(β);
y1=ycos(β)-xsin(β);