不等式专项

1. 重要不等式

/(a^2+b^2/ge 2ab/)

2. 基本不等式

/(a/ge0,b/ge0,/dfrac{a+b}{2}/ge/sqrt{ab}/)

3. 均值不等式

/(/dfrac{2}{/frac1a+/frac1b}/le/sqrt{ab}/le/dfrac{a+b}{2}/le/sqrt{/dfrac{a^2+b^2}{2}}/)

当且仅当 /(a=b/) 时等号成立。

拓展：

/(/text{调和均值：}H_{n}=/dfrac{n}{/sum /limits_{i=1}^{n}/frac{1}{x_{i}}}= /dfrac{n}{/frac{1}{x_{1}}+ /frac{1}{x_{2}}+ /cdots + /frac{1}{x_{n}}} ///)
/(/text{几何均值：}G_{n}=/sqrt[n]{/prod /limits_{i=1}^{n}x_{i}}= /sqrt[n]{x_{1}x_{2}/cdots x_{n}} ///)
/(/text{算数均值：}A_{n}=/dfrac{1}{n}/sum /limits_{i=1}^{n}x_{i}=/dfrac{x_{1}+ x_{2}+ /cdots + x_{n}}{n} ///)
/(/text{平方均值：}Q_{n}=/sqrt{/dfrac{1}{n} /sum /limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= /sqrt{/dfrac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ /cdots + x_{n}^{2}}{n}} ///)
/(H_{n}/leq G_{n}/leq A_{n}/leq Q_{n}/)