[数学知识]快速幂，龟速乘，光速幂

1. 快速幂

考虑求 $a^b /operatorname{mod} p$ ，$p$ 是质数

用乘法累乘实在是太慢了，所以我们要找出更优秀的算法

不妨将 $b$ 分解为二进制，比如 $(11)_{10}$ 分解成 $(1011)_2$

那么 $11=8+2+1$ ，也就是 $a^{11}=a^{8+2+1}=a^8a^2a^1$

又发现 $a^8=(a^4)^2$ ，$a^4=(a^2)^2 /cdots$

那么自然我们可以用 $a/times a$ 算出 $a^2$ ，再让 $a^2 /times a^2$ 得到 $a^4 /cdots$

假设底数是 $a$ ，指数是 $b$ ，模数是 $mod$

那么有以下代码

#define int long long
int quick_pow(int a,int b,int mod){
    int base=a,res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

（感觉好没有意义

2. 龟速乘

比起计算机自带的乘法，龟速乘的的运行速度还要慢上一些。

但是，它可以有效地保证你的 $/mathbf{long}$ $/mathbf{long}$ 不会炸掉并送给你一个神奇的数字。

#define int long long
int slow_time(int a,int b,int mod){
    int base=a,res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=(res+base)%mod;
        base=(base+base)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

我们可以发现它的原理和快速幂是基本相同的，只不过是把乘换成了加，仅此而已

原理是显然的，在每次自加的时候可以进行一个取模，这样就可以保证不会爆掉

3. 光速幂

还是设底数是 $a$ ，指数是 $b$ ，模数是 $mod$

主要思想就是分块，预处理出 $a^1 , a^2 , a^3 , /cdots ,a^{/sqrt{n}}$ 和 $a^{/sqrt{n}} , a^{2/sqrt{n}} , a^{3/sqrt{n}} , /cdots ,a^n$ （这里的 $n$ 比最大的 $b$ 要大）

然后在询问的时候取模直接查询即可

用的范围比较窄 $/cdots$

$/Theta (/sqrt{n})$ 预处理， $/Theta(1)$ 查询

struct Lightspeed_Pow{
    int base1[WR],basesqrt[WR];
    int BL;//block_len不是别的什么东西
    int maxn=1e12;//最大的可能模数，建议小于等于1e12否则可能炸空间
    void init(int x){
        BL=sqrt(maxn)+1;
        base1[0]=1;
        for(int i=1;i<=BL;i++){
            base1[i]=base1[i-1]*x%mod;
        }//处理常数次幂
        basesqrt[0]=1;
        for(int i=1;i<=BL;i++){
            basesqrt[i]=basesqrt[i-1]*base1[BL]%mod;
        }//处理根号n的倍数次幂
    }
    int calc(int x){
        return basesqrt[x/BL]*base1[x%BL]%mod;
    }
}pw;