《线性代数》知识点汇总


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一、行列式:

行列式概念和性质

1、逆序数: 所有的逆序的总数 ;

2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 ;

3、行列式性质:(用于化简行列式);

(1)行列互换(转置),行列式的值不变 ;

(2)两行(列)互换,行列式变号 ;

(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式 ;

(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和 ;

(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变 ;

(6)两行成比例,行列式的值为0 ;

重要行列式

4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 ;

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 [公式] ;

6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则

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7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式:

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8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:

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按行(列)展开

9、按行展开定理:

(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 ;

(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0;

行列式公式

10、行列式七大公式:

(1)[公式] ;

(2)[公式] ;

(3)[公式] ;

(4)[公式] ;

(5)[公式] ;

(6)若 [公式] 的特征值为 [公式] ,则 [公式] ;

(7)若 [公式] 与 [公式] 相似,则 [公式] ;

克莱姆法则

11、克莱姆法则:

(1)齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 [公式] ;[公式] 是系数系数行列式,其中 [公式] 是把 [公式] 中第 [公式] 列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式;

(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0;

(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有 [公式] ;

二、矩阵

矩阵的运算

1、矩阵乘法注意事项:

(1)矩阵乘法要求前列后行一致;

(2)矩阵乘法不满足交换律;

(3)[公式] 不能推出 [公式] 或 [公式] ;

2、转置的性质:

(1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

(4) [公式]

(5) [公式]

矩阵的逆

3、逆的定义:[公式] 或 [公式] 成立,称 [公式] 可逆, [公式] 是 [公式] 的逆矩阵,记为 [公式] ; 注:[公式] 可逆的充要条件是 [公式] ;

4、逆的性质:

(1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

(4) [公式]

(5) [公式]

5、逆的求法:

(1)[公式] 为抽象矩阵:由定义或性质求解

(2)[公式] 为数字矩阵: [公式]

(3)如果 [公式] 是可逆矩阵,则可以通过伴随矩阵求解: [公式]

矩阵的初等变换

6、初等行(列)变换定义:

(1)两行(列)互换;

(2)一行(列)乘非零常数 [公式] ;

(3)一行(列)乘 [公式] 加到另一行(列);

7、初等矩阵: 单位矩阵 [公式] 经过一次初等变换得到的矩阵 ;

8、初等变换与初等矩阵的性质:

(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵

(2)初等矩阵均为可逆矩阵,会有

[公式]

 

矩阵的秩

9、秩的定义: 非零子式的最高阶数;

注:

(1) [公式] 意味着所有元素为 0,即 [公式] ;

(2)[公式]

(3) [公式] ;

10、秩的性质:

(1)[公式] 为 [公式] 阶矩阵,则 [公式] ;

(2) [公式] ;

(3) [公式] ;

(4) [公式] ;

(5) [公式] ( [公式] 是一个可逆矩阵) ;

(6) [公式] ;

(7)设 [公式] 是 [公式] 阶矩阵, [公式] 是 [公式] 矩阵, [公式] ,则 [公式] ;

11、秩的求法:

(1)[公式] 为抽象矩阵:由定义或性质求解;

(2)[公式] 为数字矩阵: [公式] (每行第一个非零元素下面的元素均为 0),则 [公式] ;

伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质:

(1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

(4) [公式]

(5) [公式]

(6) [公式]

(7) [公式]

(8) [公式]

分块矩阵

13、分块矩阵的乘法: 要求前列后行分法相同;

14、分块矩阵求逆:

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三、向量

向量的概念及运算

1、向量的内积: [公式] ;

2、长度定义: [公式] ;

3、正交定义: [公式] ;

4、正交矩阵的定义: A 为 n 阶矩阵, [公式]

线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件: 非零列向量 [公式] 可由 [公式] 线性表示:

(1)非齐次线性方程组 [公式] 有解;

(2) [公式] 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;

6、线性表示的充分条件:若 [公式] 线性无关, [公式] 线性相关,则 [公式] 可由 [公式] 线性表示。

7、线性表示的求法:

设 [公式] 线性无关,[公式] 可由其线性表示: [公式] 初等行变换 [公式] (行最简形|系数);

行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0;

线性相关和线性无关

8、线性相关注意事项:

(1) [公式] 线性相关 [公式] [公式]

(2) [公式] 线性相关 [公式] [公式] 成比例

9、线性相关的充要条件:

向量组[公式]线性相关:

(1)有个向量可由其余向量线性表示;

(2)齐次方程 [公式] 有非零解;

(3)[公式] 即秩小于个数;

特别地, [公式] 个 [公式] 维列向量 [公式] 线性相关:

(1) [公式]

(2)[公式]

(3)[公式] 不可逆

10、线性相关的充分条件:

(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关;

(2)部分相关,则整体相关;

(3)高维相关,则低维相关;

(4)以少表多,多必相关;

推论: [公式] 个 [公式] 维向量一定线性相关。

11、线性无关的充要条件

向量组[公式]线性无关:

(1)任意向量均不能由其余向量线性表示;

(2)齐次方程 [公式] 只有零解;

(3)[公式]

特别地, [公式] 个 [公式] 维向量 [公式] 线性无关,则 [公式]; [公式] ;矩阵 [公式] 可逆。

12、线性无关的充分条件:

(1)整体无关,部分无关;

(2)低维无关,高维无关;

(3)正交的非零向量组线性无关;

(4)不同特征值的特征向量无关;

13、线性相关、线性无关判定

(1)定义法;

(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关;

极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一 ;

15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩(矩阵的秩 :非零子式的最高阶数);

注:向量组 [公式] 的秩与矩阵 [公式] 的秩相等;

16、极大线性无关组的求法

(1) [公式]为抽象的:定义法

(2)[公式]为数字的:[公式] 初等行变换 [公式] 阶梯型矩阵,则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组;

向量空间

17、基(就是极大线性无关组)变换公式:若[公式]与 [公式] 是 [公式] 维向量空间 [公式] 的两组基,则基变换公式为[公式];其中, [公式] 是从基式[公式] 到 [公式] 的过渡矩阵: [公式] .

18、坐标变换公式: 向量 [公式] 在基 [公式] 与基 [公式] 的坐标分别为 [公式] , [公式] ,即 [公式] ,则坐标变换公式为 [公式] 或 [公式] 。其中, [公式] 是从基 [公式] 到 [公式] 的过渡矩阵, [公式]

Schmidt正交化

19、设 [公式] 线性无关:

(1)正交化

令 [公式] ,则:

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(2)单位化

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四、线性方程组

方程组的表达形与解向量

1、解的形式:

(1)一般形式

(2)矩阵形式: [公式] ;

(3)向量形式:[公式] ;

2、解的定义: 若 [公式] 满足方程组 [公式],即 [公式],称 [公式] 是 [公式] 的一个解(向量);

解的判定与性质

3、齐次方程组:

(1)只有零解 —— [公式] ([公式] 为 [公式] 的列数或是未知数 x 的个数)

(2)有非零解 ——[公式]

4、非齐次方程组:

(1)无解 —— [公式]

(2)唯一解 —— [公式]

(3)无穷多解 —— [公式]

5、解的性质:

(1)若 [公式] 是 [公式] 的解,则 [公式] 是 [公式] 的解;

(2)若 [公式] 是 [公式] 的解, [公式] 是 [公式] 的解,则 [公式] 是 [公式] 的解;

(3)若 [公式] 是 [公式] 的解,则 [公式] 是 [公式] 的解;

推广:

(1)设 [公式] 是 [公式] 的解,则当 [公式][公式]是 [公式] 的解;当 [公式] 是 [公式] 的解;

(2)设[公式] 是 [公式] 的 [公式] 个线性无关的解,则 [公式] 为 [公式] 的 [公式] 个线性无关的解;

基础解系

6、基础解系定义:

(1) [公式] 是 [公式] 的解;

(2) [公式] 线性无关;

(3)[公式] 的所有解均可由其线性表示——基础解系即所有解的极大无关组; 注:基础解系不唯一。 任意 [公式] 个线性无关的解均可作为基础解系;

7、重要结论:

设 [公式] 是 [公式] 阶矩阵, [公式] 是 [公式] 阶矩阵, [公式]

(1)B的列向量均为方程 [公式] 的解;

(2) [公式] ;

8、基础解系的求法

(1)[公式] 为抽象的:由定义或性质凑 [公式] 个线性无关的解

(2)[公式] 为数字的: [公式] [公式] 初等行变换 [公式] 阶梯型

解的结构(通解)

9、齐次线性方程组的通解(所有解)

设 [公式] , [公式] 为 [公式] 的基础解系, 则 [公式] 的通解为 [公式] (其中 [公式] 为任意常数);

10、非齐次线性方程组的通解

设 [公式][公式]为 [公式] 的基础解系, [公式] 为 [公式] 的特解, 则 [公式] 的通解为 [公式] (其中 [公式] 为任意常数);

公共解与同解

11、公共解定义: 如果 [公式] 既是方程组 [公式] 的解,又是方程组 [公式] 的解,则称 [公式] 为其公共解;

12、非零公共解的充要条件:方程组 [公式] 与 [公式] ,

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13、重要结论

(1)设 [公式] 是 [公式] 阶矩阵,则齐次方程 [公式] 与 [公式] 同解, [公式] ;

(2)设 [公式] 是 [公式] 阶矩阵, [公式] , [公式] 是 [公式] 阶矩阵,则齐次方程 [公式] 与 [公式] 同解, [公式] ;

五、特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义: 设 [公式] 为 [公式] 阶矩阵,如果存在数 [公式] 及非零列向量 [公式] ,使得 [公式] ,称 [公式] 是矩阵 [公式] 属于特征值 [公式] 的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义: [公式] 称为矩阵 [公式] 的特征多项式( [公式] 的 [公式] 次多项式)。 [公式] 称为矩阵 [公式] 的特征方程( [公式] 的 [公式] 次方程)。 注:特征方程可以写为 [公式] ;

注:特征方程可以写为 [公式]

3、重要结论:

(1)若 [公式] 为齐次方程 [公式] 的非零解,则 [公式] ,即 [公式] 为矩阵 [公式] 特征值 [公式] 的特征向量;

(2) [公式] 的各行元素和为 [公式] ,则 [公式] 为特征值为 [公式] 的特征向量;

(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素;

4、特征值与特征向量的求法

(1)[公式] 为抽象的:由定义或性质求解;

(2)[公式] 为数字的:由特征方程法求解;

5、特征方程法

(1)解特征方程 [公式],得矩阵 [公式] 的 [公式] 个特征值 [公式] ;注: [公式] 次方程必须有 [公式] 个根(可有多重根,写作 [公式] ,不能省略);

(2)解齐次方程 [公式],得属于特征值 [公式] 的线性无关的特征向量,即其基础解系(共 [公式] 个解);

6、性质

(1)不同特征值的特征向量线性无关;

(2) [公式] 重特征值最多 [公式] 个线性无关的特征向量: [公式] ;

(3)设 [公式] 的特征值为 [公式] ,则 [公式] ;

(4)当 [公式] ,即 [公式] ,其中 [公式] 均为 [公式] 维非零列向量,则 [公式] 的特征值为 [公式] ;

相似矩阵

7、相似矩阵的定义: 设 [公式] 均为 [公式] 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 [公式] 使得 [公式] ,称 [公式] 与 [公式] 相似,记作 [公式] ;

8、相似矩阵的性质:

(1)若 [公式] 与 [公式] 相似,则 [公式] 与 [公式] 相似;

(2)若 [公式] 与 [公式] 相似,[公式] 与 [公式] 相似,则 [公式] 与 [公式] 相似;

(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和);

(4)若 [公式] 与 [公式] 相似,则 [公式] 与 [公式] 相似, [公式] 与 [公式] 相似, [公式] 与 [公式] 相似, [公式] 与 [公式] 也相似;

矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义:

如果 [公式] 与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵 [公式] ,使得

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称 A 可相似对角化。

注: [公式] ,故 [公式] 的每一列均为矩阵 [公式] 的特征值 [公式] 的特征向量;

10、相似对角化的充要条件

(1)[公式] 有 [公式] 个线性无关的特征向量;

(2)[公式] 的 [公式] 重特征值有 [公式] 个线性无关的特征向量;

11、相似对角化的充分条件:

(1)[公式] 有 [公式] 个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关);

(2)[公式] 为实对称矩阵;

12、重要结论:

(1)若 [公式] 可相似对角化,则 [公式] 为非零特征值的个数, [公式] 为零特征值 的个数;

(2)若 [公式] 不可相似对角化, [公式] 不一定为非零特征值的个数;

实对称矩阵

13、性质

(1)特征值全为实数;

(2)不同特征值的特征向量正交;

(3)[公式] 可相似对角化,即存在可逆矩阵 [公式] 使得 [公式] ;

(4)[公式] 可正交相似对角化,即存在正交矩阵 [公式] ,使得 [公式] ;

六、二次型

二次型及其标准形

1、二次型:

(1)一般形式

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(2)矩阵形式(常用): [公式]

2、标准形:如果二次型只含平方项,即 [公式] 这样的二次型称为标准形(对角线);

3、二次型化为标准形的方法:

(1)配方法: 通过可逆线性变换 [公式] ,将二次型化为标准形。其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

(2)正交变换法:通过正交变换 [公式] ,将二次型化为标准形 [公式] ,其中, [公式] 是 [公式] 的 [公式] 个特征值, [公式] 为 [公式] 的正交矩阵;注:正交矩阵 [公式] 不唯一, [公式] 与 [公式] 对应即可。

惯性定理及规范型

4、定义:

正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;

负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;

规范型:规范型中系数1的个数等于正特征值的个数 (或二次型正惯性指数),规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数 (或二次型负惯性指数)。不考虑+1, -1 顺序的情况下,规范型是唯一的;

5、惯性定理: 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。

注:

(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;

(2) [公式] =正特征值的个数, [公式] =负特征值的个数, [公式] =非零特征值的个数 [公式] ;

合同矩阵

6、定义: [公式] 均为 [公式] 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 [公式] ,使得 [公式] ,称 [公式] 与 [公式] 合同;

7、[公式] 阶实对称矩阵 [公式] 的关系

(1)[公式] 相似 [公式]

(2)[公式] 合同 [公式]

(3) [公式]

注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价;

正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义:二次型 [公式] ,如果任意 [公式] ,恒有 [公式] ,则称二次型正定,并称实对称矩阵 [公式] 是正定矩阵;

9、 [公式] 元二次型 [公式] 正定充要条件:

(1)[公式] 的正惯性指数为 [公式] ;

(2)[公式] 与 [公式] 合同,即存在可逆矩阵 [公式] ,使得 [公式] 或 [公式] ;

(3)[公式] 的特征值均大于 0 ;

(4)[公式] 的顺序主子式均大于 0( [公式] 阶顺序主子式为前 [公式] 行前 [公式] 列的行列式);

10、 [公式] 元二次型 [公式] 正定必要条件:

(1) [公式]

(2) [公式]

11、重要结论:

(1)若 [公式] 是正定矩阵,则 [公式] 正定

(2)若 [公式] 均为正定矩阵,则 [公式] 正定

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