原文网址:《线性代数》知识点汇总 – 知乎 (zhihu.com)
一、行列式:
行列式概念和性质
1、逆序数: 所有的逆序的总数 ;
2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和 ;
3、行列式性质:(用于化简行列式);
(1)行列互换(转置),行列式的值不变 ;
(2)两行(列)互换,行列式变号 ;
(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数 k,等于用数k乘此行列式 ;
(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和 ;
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变 ;
(6)两行成比例,行列式的值为0 ;
重要行列式
4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积 ;
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 ;
6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则
7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式:
8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:
按行(列)展开
9、按行展开定理:
(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 ;
(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于 0;
行列式公式
10、行列式七大公式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6)若 的特征值为 ,则 ;
(7)若 与 相似,则 ;
克莱姆法则
11、克莱姆法则:
(1)齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解 ; 是系数系数行列式,其中 是把 中第 列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式;
(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0;
(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有 ;
二、矩阵
矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项:
(1)矩阵乘法要求前列后行一致;
(2)矩阵乘法不满足交换律;
(3) 不能推出 或 ;
2、转置的性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
矩阵的逆
3、逆的定义: 或 成立,称 可逆, 是 的逆矩阵,记为 ; 注: 可逆的充要条件是 ;
4、逆的性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5、逆的求法:
(1) 为抽象矩阵:由定义或性质求解
(2) 为数字矩阵:
(3)如果 是可逆矩阵,则可以通过伴随矩阵求解:
矩阵的初等变换
6、初等行(列)变换定义:
(1)两行(列)互换;
(2)一行(列)乘非零常数 ;
(3)一行(列)乘 加到另一行(列);
7、初等矩阵: 单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵 ;
8、初等变换与初等矩阵的性质:
(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵
(2)初等矩阵均为可逆矩阵,会有
矩阵的秩
9、秩的定义: 非零子式的最高阶数;
注:
(1) 意味着所有元素为 0,即 ;
(2)
(3) ;
10、秩的性质:
(1) 为 阶矩阵,则 ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ( 是一个可逆矩阵) ;
(6) ;
(7)设 是 阶矩阵, 是 矩阵, ,则 ;
11、秩的求法:
(1) 为抽象矩阵:由定义或性质求解;
(2) 为数字矩阵: (每行第一个非零元素下面的元素均为 0),则 ;
伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
分块矩阵
13、分块矩阵的乘法: 要求前列后行分法相同;
14、分块矩阵求逆:
三、向量
向量的概念及运算
1、向量的内积: ;
2、长度定义: ;
3、正交定义: ;
4、正交矩阵的定义: A 为 n 阶矩阵,
线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件: 非零列向量 可由 线性表示:
(1)非齐次线性方程组 有解;
(2) 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;
6、线性表示的充分条件:若 线性无关, 线性相关,则 可由 线性表示。
7、线性表示的求法:
设 线性无关, 可由其线性表示: 初等行变换 (行最简形|系数);
行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0;
线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项:
(1) 线性相关
(2) 线性相关 成比例
9、线性相关的充要条件:
向量组线性相关:
(1)有个向量可由其余向量线性表示;
(2)齐次方程 有非零解;
(3) 即秩小于个数;
特别地, 个 维列向量 线性相关:
(1)
(2)
(3) 不可逆
10、线性相关的充分条件:
(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关;
(2)部分相关,则整体相关;
(3)高维相关,则低维相关;
(4)以少表多,多必相关;
推论: 个 维向量一定线性相关。
11、线性无关的充要条件
向量组线性无关:
(1)任意向量均不能由其余向量线性表示;
(2)齐次方程 只有零解;
(3);
特别地, 个 维向量 线性无关,则 ; ;矩阵 可逆。
12、线性无关的充分条件:
(1)整体无关,部分无关;
(2)低维无关,高维无关;
(3)正交的非零向量组线性无关;
(4)不同特征值的特征向量无关;
13、线性相关、线性无关判定
(1)定义法;
(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关;
极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一 ;
15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩(矩阵的秩 :非零子式的最高阶数);
注:向量组 的秩与矩阵 的秩相等;
16、极大线性无关组的求法
(1) 为抽象的:定义法
(2)为数字的: 初等行变换 阶梯型矩阵,则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组;
向量空间
17、基(就是极大线性无关组)变换公式:若与 是 维向量空间 的两组基,则基变换公式为;其中, 是从基式 到 的过渡矩阵: .
18、坐标变换公式: 向量 在基 与基 的坐标分别为 , ,即 ,则坐标变换公式为 或 。其中, 是从基 到 的过渡矩阵, ;
Schmidt正交化
19、设 线性无关:
(1)正交化
令 ,则:
(2)单位化
四、线性方程组
方程组的表达形与解向量
1、解的形式:
(1)一般形式
(2)矩阵形式: ;
(3)向量形式: ;
2、解的定义: 若 满足方程组 ,即 ,称 是 的一个解(向量);
解的判定与性质
3、齐次方程组:
(1)只有零解 —— ( 为 的列数或是未知数 x 的个数)
(2)有非零解 ——
4、非齐次方程组:
(1)无解 ——
(2)唯一解 ——
(3)无穷多解 ——
5、解的性质:
(1)若 是 的解,则 是 的解;
(2)若 是 的解, 是 的解,则 是 的解;
(3)若 是 的解,则 是 的解;
推广:
(1)设 是 的解,则当 , 是 的解;当 是 的解;
(2)设 是 的 个线性无关的解,则 为 的 个线性无关的解;
基础解系
6、基础解系定义:
(1) 是 的解;
(2) 线性无关;
(3) 的所有解均可由其线性表示——基础解系即所有解的极大无关组; 注:基础解系不唯一。 任意 个线性无关的解均可作为基础解系;
7、重要结论:
设 是 阶矩阵, 是 阶矩阵,
(1)B的列向量均为方程 的解;
(2) ;
8、基础解系的求法
(1) 为抽象的:由定义或性质凑 个线性无关的解
(2) 为数字的: 初等行变换 阶梯型
解的结构(通解)
9、齐次线性方程组的通解(所有解)
设 , 为 的基础解系, 则 的通解为 (其中 为任意常数);
10、非齐次线性方程组的通解
设 ,为 的基础解系, 为 的特解, 则 的通解为 (其中 为任意常数);
公共解与同解
11、公共解定义: 如果 既是方程组 的解,又是方程组 的解,则称 为其公共解;
12、非零公共解的充要条件:方程组 与 ,
13、重要结论
(1)设 是 阶矩阵,则齐次方程 与 同解, ;
(2)设 是 阶矩阵, , 是 阶矩阵,则齐次方程 与 同解, ;
五、特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义: 设 为 阶矩阵,如果存在数 及非零列向量 ,使得 ,称 是矩阵 属于特征值 的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义: 称为矩阵 的特征多项式( 的 次多项式)。 称为矩阵 的特征方程( 的 次方程)。 注:特征方程可以写为 ;
注:特征方程可以写为
3、重要结论:
(1)若 为齐次方程 的非零解,则 ,即 为矩阵 特征值 的特征向量;
(2) 的各行元素和为 ,则 为特征值为 的特征向量;
(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素;
4、特征值与特征向量的求法
(1) 为抽象的:由定义或性质求解;
(2) 为数字的:由特征方程法求解;
5、特征方程法
(1)解特征方程 ,得矩阵 的 个特征值 ;注: 次方程必须有 个根(可有多重根,写作 ,不能省略);
(2)解齐次方程 ,得属于特征值 的线性无关的特征向量,即其基础解系(共 个解);
6、性质
(1)不同特征值的特征向量线性无关;
(2) 重特征值最多 个线性无关的特征向量: ;
(3)设 的特征值为 ,则 ;
(4)当 ,即 ,其中 均为 维非零列向量,则 的特征值为 ;
相似矩阵
7、相似矩阵的定义: 设 均为 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 使得 ,称 与 相似,记作 ;
8、相似矩阵的性质:
(1)若 与 相似,则 与 相似;
(2)若 与 相似, 与 相似,则 与 相似;
(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和);
(4)若 与 相似,则 与 相似, 与 相似, 与 相似, 与 也相似;
矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义:
如果 与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵 ,使得
称 A 可相似对角化。
注: ,故 的每一列均为矩阵 的特征值 的特征向量;
10、相似对角化的充要条件
(1) 有 个线性无关的特征向量;
(2) 的 重特征值有 个线性无关的特征向量;
11、相似对角化的充分条件:
(1) 有 个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关);
(2) 为实对称矩阵;
12、重要结论:
(1)若 可相似对角化,则 为非零特征值的个数, 为零特征值 的个数;
(2)若 不可相似对角化, 不一定为非零特征值的个数;
实对称矩阵
13、性质
(1)特征值全为实数;
(2)不同特征值的特征向量正交;
(3) 可相似对角化,即存在可逆矩阵 使得 ;
(4) 可正交相似对角化,即存在正交矩阵 ,使得 ;
六、二次型
二次型及其标准形
1、二次型:
(1)一般形式
(2)矩阵形式(常用):
2、标准形:如果二次型只含平方项,即 这样的二次型称为标准形(对角线);
3、二次型化为标准形的方法:
(1)配方法: 通过可逆线性变换 ,将二次型化为标准形。其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
(2)正交变换法:通过正交变换 ,将二次型化为标准形 ,其中, 是 的 个特征值, 为 的正交矩阵;注:正交矩阵 不唯一, 与 对应即可。
惯性定理及规范型
4、定义:
正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为p;
负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为q;
规范型:规范型中系数1的个数等于正特征值的个数 (或二次型正惯性指数),规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数 (或二次型负惯性指数)。不考虑+1, -1 顺序的情况下,规范型是唯一的;
5、惯性定理: 二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。
注:
(1)由于正负惯性指数不变,所以规范形唯一;
(2) =正特征值的个数, =负特征值的个数, =非零特征值的个数 ;
合同矩阵
6、定义: 均为 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 ,使得 ,称 与 合同;
7、 阶实对称矩阵 的关系
(1) 相似
(2) 合同
(3)
注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价;
正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义:二次型 ,如果任意 ,恒有 ,则称二次型正定,并称实对称矩阵 是正定矩阵;
9、 元二次型 正定充要条件:
(1) 的正惯性指数为 ;
(2) 与 合同,即存在可逆矩阵 ,使得 或 ;
(3) 的特征值均大于 0 ;
(4) 的顺序主子式均大于 0( 阶顺序主子式为前 行前 列的行列式);
10、 元二次型 正定必要条件:
(1)
(2)
11、重要结论:
(1)若 是正定矩阵,则 正定
(2)若 均为正定矩阵,则 正定
原创文章,作者:端木书台,如若转载,请注明出处:https://blog.ytso.com/276613.html