二分 + 双端队列广搜
复杂度 /(m /cdot log(r – l) = 1 /times 10^4 /times log(10^9) = 3 /times 10^5/)
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
const int M = 1e3 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m, k;
int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int d[M];
bool st[M];
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
}
bool check(int x)
{
deque<int> q;
memset(d, 0x3f, sizeof d);
memset(st, false, sizeof st);
q.push_back(1);
d[1] = 0;
while (q.size()) {
auto t = q.front();
q.pop_front();
if (st[t])
continue;
st[t] = true;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
int dist = w[i] > x;
if (d[j] > d[t] + dist) {
d[j] = d[t] + dist;
if (!dist)
q.push_front(j);
else
q.push_back(j);
}
}
}
return d[n] <= k;
}
void solve()
{
cin >> n >> m >> k;
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 0; i < m; i ++) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
add(a, b, c);
add(b, a, c);
}
int l = 0, r = 1e9;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid))
r = mid;
else
l = mid + 1;
}
if (l > 1e6)
cout << "-1" << endl;
else
cout << l << endl;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
solve();
return 0;
}
- 抽象问题
可以将不超过 /(k/) 条路的长度置为 /(0/),在这样的前提下,求从起点到终点的一条路径,让这条路径上每段路径的最大值最小 - 二分
由于要求的是最大值最小,可以考虑用二分,下面考虑如何设置 /(check/) 函数,可以将二分的目标定为:将长度超过 /(x/) 的路径长度置为 /(0/),求能满足置为 /(0/) 的路径的条数小于等于 /(k/) 的情况下的最小值,将 /(check/) 函数设置为:是否满足在阈值设置为 /(x/) 的条件下,存在一条从起点到终点,经过长度超过 /(x/) 的边的个数不超过 /(k/) 的一条路径,如果存在,就让 /(r = mid/),否则,就让 /(l = mid + 1/),在这样的情况下,最终二分的结果就是在满足条件的情况下 /(x/) 所能取到的最小值,其余的没有置为 /(0/) 的路径的最大值为 /(x/),也就是最优解 - 双端队列广搜
在阈值 /(x/) 确定的情况下,要判断是否存在一条从起点到终点,经过长度超过 /(x/) 的边的个数不超过 /(k/) 的一条路径,可以将所有长度大于 /(x/) 的边权值设为 /(1/),其余边的权值设为 /(0/),问题就转化为求从起点到终点的最短路,判断最短距离是否不超过 /(k/),对于 /(0/) 和 /(1/) 两种边权的问题,可以用双端队列广搜,将边权为 /(0/) 的边放到队头,边权为 /(1/) 的边放到队尾,做一遍 /(BFS/) 即可 - 二分的区间
左端点 /(l/) 设置为 /(0/),因为 /(0/) 是有可能取到的,也就是全部免费的情况,右端点 /(r/) 设置为 /(10^9 > 10^6/),因为路径的长度 /(L/) 最大为 /(10^6/),可以用大于 /(10^6/) 的数来代表无解的情况(双端队列广搜时,如果不连通,/(d[n]/) 就一直是正无穷,也就是 /(check/) 一直是 /(false/),最后 /(l/) 会跑到 /(r/) 的位置)
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