图数据挖掘:基于概率的流行病模型


1 导引

在上一篇博客《图数据挖掘:网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模,该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的,主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策,需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型,这种模型基于对数据的观测来构建,不过不能对因果性进行建模。

2 基于随机树的流行病模型

接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型,它是分支过程(branching processes)的一种变种。在这种模型中,一个病人可能接触dd个其他人,对他们中的每一个都有概率q>0q>0将其传染,

接下来我们来看当dd和qq取何时,流行病最终会消失(die out),也即满足

 

limh→∞ph=0limh→∞ph=0

 

这里phph为在深度hh处存在感染节点的概率(是关于qq和dd的函数)。如果流行病会永远流行下去,则上述极限应该>0>0。

phph满足递归式:

 

ph=1−(1−q⋅ph−1)dph=1−(1−q⋅ph−1)d

 

这里(1−q⋅ph−1)d(1−q⋅ph−1)d表示在距离根节点hh深度处没有感染节点的概率。

接下来我们通过对函数

 

f(x)=1−(1−q⋅x)df(x)=1−(1−q⋅x)d

 

进行迭代来得到limh→∞phlimh→∞ph。我们从根节点x=1x=1(因为p1=1p1=1)开始,依次迭代得到x1=f(1),x2=f(x1),x3=f(x2)x1=f(1),x2=f(x1),x3=f(x2)。事实上,该迭代最终会收敛到不动点f(x)=xf(x)=x

这里xx是在深度h−1h−1处存在感染节点的概率,f(x)f(x)是在深度为hh处存在感染节点的概率,qq为感染概率,dd为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失,那么迭代f(x)f(x)的结果必须要趋向于00,也即不动点需要为0。而这也就意味着f(x)f(x)必须要在y=xy=x下方

如何控制f(x)f(x)必须要在y=xy=x下方呢?我们先来分析下f(x)f(x)的图像形状,我们有以下结论:

f(x)f(x)是单调的:对0≤x,q≤1,d>10≤x,q≤1,d>1,f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1>0f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1>0,故f(x)f(x)是单调的。

f′(x)f′(x)是非增的:f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1会着xx减小而减小。

而f(x)f(x)低于y=xy=x,则需要满足

f′(0)=q⋅d<1f′(0)=q⋅d<1

综上所述,我们有结论:

limh→∞ph=0 when q⋅d<1limh→∞ph=0 when q⋅d<1

 

这里R0=q⋅dR0=q⋅d表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数,我们将其称为基本再生数(reproductive number),它决定了传染病病是否会流行:

  • 若R0≥1R0≥1: 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
  • 若R0≤1R0≤1: 流行病会以指数速度快速消失。

3 SIR与SIS流行病模型

3.1 模型范式

在病毒的传播中,有两个最基本的参数:

  • 出生率ββ 被已感染邻居攻击的概率
  • 死亡率δδ 已感染节点治愈的概率

网络中的节点可以在以下四个状态(S+E+I+R)之间做转移

  • 易感期(susceptible): 节点患病之前,处于容易被邻居传染的时期,也称敏感期。
  • 潜伏期(exposed):节点已被感染,但是还没具备能力去传染别人。
  • 传染期(infectious):节点已被感染,且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居,也称感染期。
  • 移除期(removed):当一个节点经历了完整的传染期,就不再被考虑了,因为它不会再受感染,也不会对其它节点构成威胁,也称隔离期。

其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数ββ和δδ控制。

3.2 SIR模型

在SIR模型中,节点经历S-I-R三个阶段

事实上,该模型可用于对水痘和鼠疫的建模,也即一旦我治愈了,那我就永远不会再被感染了。

假设模型满足完美混

dSdt=−βSIdRdt=δIdIdt=βSI−δIdSdt=−βSIdRdt=δIdIdt=βSI−δI

 

处于SS、II、RR状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示:
 

3.3 SIS模型

SIS模型中节点只有S-I两个阶段,它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下:

 

这里我们把s=βδs=βδ定义为病毒的“力量”(strength)。

该模型可用于对流感的建模,也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。

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