节点度分布p(k)p(k)为关于kk的函数，表示网络中度为kk的节点占多大比例。我们发现，现实世界许多网络的节点度分布与幂函数乘正比：

p(k)∝k−αp(k)∝k−α

由于对y=x−αy=x−α两边取对数可以得到log(y)=−αlog(x)log⁡(y)=−αlog⁡(x)，因此我们使用原数据在log-log尺度

 

可以看到此时幂律分布像一条斜率为−α−α的直线。事实上，我们可以用该方法快速检测一个数据集是否服从幂律分布。像与幂律分布p(k)∝exp(−k)p(k)∝exp⁡(−k)和指数分布p(k)∝k−αp(k)∝k−α就可以使用取对数的方法进行区分，因为对y=f(x)=e−xy=f(x)=e−x两边取对数我们得到的是log(y)=−xlog⁡(y)=−x。

我们继续看在原始坐标轴下到

我们再来看一下现实生活中的幂律分布和其它分布的对比。事实上，航空网络的度分布常常满足幂律分布；而高速公路网络的度分布则常常满足泊松分布（指数族分布的一种），其均值为平均度k¯k¯。它们的对比

2 幂律分布的数学性质

2.1 重尾分布

如果分布p(x)p(x)对应的互补累计分布函数(complementary cumulative distribution function，CCDF)P(X>x)P(X>x)满足：

 

limx→∞P(X>x)e−λx=∞limx→∞P(X>x)e−λx=∞

 

则我们称分布p(x)p(x)是重尾分布(heavy tailed distribution)。

幂律分布就是一种典型的重尾分布（就像我们前面所展示的节点度高度倾斜）。但需要注意的事，以下分布不是重尾分布：

• 正态分布：p(x)=12πσ√e−(x−μ)22σ2p(x)=12πσe−(x−μ)22σ2
• 指数分布：p(x)=λe−λxp(x)=λe−λx（P(X>x)=1−P(X≤x)=e−λxP(X>x)=1−P(X≤x)=e−λx）。

事实上，重尾分布有着不同的变种和形式，包括：长尾分布(long tailed distribution)，齐夫定律(Zipf's law)，帕累托定律(Pareto law，也就是所谓的“二八法则”)等。

对于重尾分布而言，其概率密度函数p(x)p(x)正比于：

• 幂律分布： p(x)∝x−αp(x)∝x−α
• 具有指数截止的幂律分布(power law with exponential cutoff)：x−αe−λxx−αe−λx
• 扩展指数分布(stretched exponential)：xβ−1e−λxβxβ−1e−λxβ
• 对数正态分布(log-normal)：1xexp[−(lnx−μ)22σ2]1xexp⁡[−(ln⁡x−μ)22σ2]

2.2 归一化常数

接下来我们考虑幂律分布

 

p(x)=Zx−αp(x)=Zx−α

 

的归一化常数ZZ应该怎么取。由于要让p(x)p(x)是一个概率分布的话则需要满足：∫p(x)dx=1∫p(x)dx=1。由于p(x)p(x)在x→0x→0的时候是发散的，我们取一个最小值xmxm，接着我们有：

 

1=∫∞xmp(x)dx=Z∫∞xmx−αdx=−Zα−1[x−α+1]∞xm=−Zα−1[∞1−α−x1−αm]1=∫xm∞p(x)dx=Z∫xm∞x−αdx=−Zα−1[x−α+1]xm∞=−Zα−1[∞1−α−xm1−α]

 

当α>1α>1时，我们有Z=(α−1)xα−1mZ=(α−1)xmα−1。于是，可以得到归一化后的幂律分布形式：

 

p(x)=α−1xm(xxm)−αp(x)=α−1xm(xxm)−α

 

2.3 数学期望

幂律分布随机变量XX的期望值

 

E[X]=∫∞xmxp(x)dx=Z∫∞xmx−α+1dx=Z2−α[x2−α]∞xm=(α−1)xα−1m−(α−2)[∞2−α−x2−αm]E[X]=∫xm∞xp(x)dx=Z∫xm∞x−α+1dx=Z2−α[x2−α]xm∞=(α−1)xmα−1−(α−2)[∞2−α−xm2−α]

 

当α>2α>2时，我们有

 

E[X]=α−1α−2xmE[X]=α−1α−2xm

 

若α≤2α≤2，则E[X]=∞E[X]=∞，若α≤3α≤3，则Var[X]=∞Var[X]=∞。事实上当方差太大时均值就没有意义了。

在真实的网络中2<α<32<α<3，所以E[X]=constE[X]=const，Var[X]=∞Var[X]=∞。

为了印证我们上面的理论，我们通过实验模拟当幂律分布的指数αα的取不同值时，从分布中所采的nn个样本的均值和方差随着n→∞n→∞的变化情况

可以看到，和我们上面的理论符合

3 无标度网络

3.1 随机和无标度网络的对比

网络度分布遵循幂律分布的网络我们称为无标度(scale-free)网络（也称无尺度网络)。所谓无标度，其实来源于统计物理学里的相转移理论（事实上统计物理和复杂系统联系紧密）。网络一阶矩是平均度，二阶矩是度的方差。我们在博客《图数据挖掘：Erdos-Renyi随机图的生成方式及其特性》中说过，ER随机网络的平均度k¯k¯与度方差σ2σ2都是可以估计的，这就是所谓“有标度”。但正如我们前面所分析的，在幂律分布网络中，方差和期望都可能不存在，这也是Barabási等人将其称为“无标度”的原因^[2][3]。

我们下面展示了随机网络（Erdos-Eenyi随机图）和无标度网络的对比

3.2 网络的弹性

网络的弹性(resilience)意为网络对攻击的抵抗能力，而这可以通过网络的一些度量属性随攻击的变化来体现。

节点的移除方式包括两种：

• 随机事故(random failure): 均匀随机地移除节点
• 针对性攻击(targeted attack): 按照度的降序来移除节点。

 

网络的弹性分析对互联网的鲁棒性和流行病学都非常重要。接下来我们就来看几种经典网络类型的弹性分析实验。我们采取的度量属性包括：

• 在巨大连通分量（gaint connected component）中的节点所占的比例
• 最大连通分量中的节点之间的平均路径长度。