前言

【MIT】线性代数（p8） 笔记

$Ax=b$

又称非齐次线性方程组

引入

给出方程组：

$/left /{ /begin{matrix} x_1 +2x_2 + 2x_3 + 2x_4 = b_1// 2x_1 +4x_2 + 6x_3 + 8x_4 =b_2// 3x_1 +6x_2 + 8x_3 + 10x_4=b_3 /end{matrix} /right.$

改写成增广矩阵形式：

$/left [ /begin{array}{c:c} /begin{matrix} 1&2&2&2// 2&4&6&8// 3&6&8&10 /end{matrix}& /begin{matrix} b_1// b_2// b_3 /end{matrix} /end{array} /right ]$

此矩阵的特点：最后一行的系数是上面两行的和。因此，若想此方程组有解，则$b_1+b_2=b_3$

$/Rightarrow$如果左侧各行的线性组合为0，则右边的常数的组合为0.

消元证明：

$/left [/begin{array}{c:c}/begin{matrix}1 & 2 & 2 & 2//0 & 0 & 2 & 4//0 & 0 & 0 & 0/end{matrix}&amp/begin{matrix}b_1//b_2-2b_1//b_3-b_2-b_1/end{matrix}/end{array}/right ]$

由最后一行得到：

$b_3-b_2-b_1=0$

与上方结论一致。

假设$b=/begin{bmatrix}1 //5 //6/end{bmatrix}$，进行最后的回代，将得到：

$/left [ /begin{array}{c:c} /begin{matrix} 1&2&2&2// 0&0&2&4// 0&0&0&0 /end{matrix}& /begin{matrix} 1// 3// 0 /end{matrix} /end{array} /right ]$

可解性

若$Ax=b$可解，则$b$属于$A$的列空间。

$/Updownarrow$ （上下两种说法其实等价）

若&A&出现$0$行，则$b$的此行也必须为$0$。

若有解：如何找出所有解？

一种方法：

因为变量可以随意取，所以将所有自由变量设置为$0$，使主变量的值唯一确定。

第二列、第四列没有主元，$x_2, x_4$设置为$0$：

$/left [ /begin{array}{c:c} /begin{matrix} 1&2&2&2// 0&[0] &2&4// 0&0&0&[0] /end{matrix}& /begin{matrix} 1// 3// 0 /end{matrix} /end{array} /right ]$

剔除自由变量后，剩下的方程组变为：

$/left/{/begin{matrix}x_1+2x_3=1 //2x_3 = 3/end{matrix}/right.$

后略。