完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

不优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N],f[N][N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            if(j<w[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
            else
            {
                for(int k=1;k*w[i]<=j;k++)
                    f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
           
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

优化策略

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w]+v,f[i-1][j-2w]+2v+f[i-1][j-3w]+3v)
f[i][j-w]=max(        f[i-1][j-w],f[i-1][j-2w]+vv,f[i-1][j-3w]+2v)
加减相消
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w]+v)

优化后1

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int N=1010;
 int v[N],w[N],f[N][N];

 int main()
 {
     int n,m;
     cin>>n>>m;
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
         cin>>w[i]>>v[i];
     }
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
         for(int j=0;j<=m;j++)
         {
             if(j<w[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
             else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+v[i]);
         }
     }
     cout<<f[n][m]<<endl;
     return 0;
 }

降维优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1010;
int v[N],w[N],f[N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=w[i];j<=m;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}