数论 · 幂函数求导

前言

TC 讲课笔记。

正文

定义一个幂函数：/(f(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + /cdots + a_nx^{b_n} +C/)。（/(C/) 为常数。）

导数：反映一个函数的变化快慢。

• 对于一个一次函数：

  /(f(x)=kx+b/)，那么它的导数就是 /(k/)——/(k/) 反应了这条直线上的点的变化快慢，/(k/) 越大，/(y/) 值的变化越大。

• 对于一个二次函数：

  由一次函数求导可知，对于我们要求导的、在二次函数上的点 /(A(x_0,y_0)/)，我们寻找一个点 /(B(x, y)/)，使 /(x/) 无限接近 /(x_0/)，再套用一次函数中的方法，就可以得到点 /(A/) 的导数：/(k(x_0,y_0)=/lim/limits_{x/to x_0} /dfrac{y-y_0}{x-x_0}/)。

• 对于幂函数：

  直接记结论：对于一个幂函数 /(f(x)=a_1x^{b_1} + a_2x^{b_2} + /cdots + a_nx^{b_n} +C/)，其导数为 /(f'(x) = a_1b_1x^{b_1-1} + a_2b_2x^{b_2-1} + /cdots + a_nb_nx^{b_n-1}/)。

  注意 /(f'(x)/) 非积性函数。